Abbildungsgrad

Der Abbildungsgrad ist ein wichtiges Hilfsmittel der nichtlinearen Analysis, um die Existenz von Lösungen nichtlinearer Gleichungen f(x) = y nachzuweisen. Mit seiner Hilfe kann man beispielsweise den brouwerschen Fixpunktsatz, den Satz von Borsuk-Ulam oder den jordanschen Kurvensatz beweisen. Im endlichdimensionalen (für stetige Funktionen) bezeichnet man ihn als brouwerschen Abbildungsgrad; seine Erweiterung auf Banachräume (für kompakte Störungen der Identität) heißt leray-schauderscher Abbildungsgrad.

Inhaltsverzeichnis

Der brouwersche Abbildungsgrad

Der brouwersche Abbildungsgrad ordnet einer stetigen Funktion f: \overline{\Omega} \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n für offenes, beschränktes Ω und gegebenes y \in \mathbb{R}^n \setminus f(\partial\Omega) eine ganze Zahl d(f,Ω,y) zu. Entscheidend für die Anwendungen ist die Tatsache, dass die Gleichung f(x) = y bereits dann lösbar ist, wenn der Abbildungsgrad d(f,Ω,y) von null verschieden ist. Verschwindet der Abbildungsgrad d(f,Ω,y), so kann keine Aussage zur Lösbarkeit gemacht werden.

Axiomatische Definition

Der brouwersche Abbildungsgrad ist eine Funktion

d: \{(f, \Omega, y)\ |\ \Omega \subset \mathbb{R}^n\ \mathrm{offen, beschr\ddot{a}nkt}\ ,\ f: \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^n\ \textrm{stetig}\ ,\ y \in \mathbb{R}^n\setminus f(\partial\Omega)\} \rightarrow \mathbb{Z}

mit den folgenden Eigenschaften:

  • d(id,Ω,y) = 1 für alle y \in \Omega.
  • Zerlegungseigenschaft:
d(f,Ω,y) = d(f1,y) + d(f2,y), falls Ω12 disjunkte offene Teilmengen von Ω sind, so dass y \not\in f(\overline{\Omega}\setminus(\Omega_1\cup\Omega_2)).
  • Homotopieinvarianz:
t \mapsto d(F(t,\cdot), \Omega, y(t)) ist bezüglich t \in [0,1] konstant, falls F: [0,1] \times \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^n und y: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^n stetig sind mit y(t) \not\in F(t, x) für alle t \in [0,1] und x \in \partial\Omega.

Man kann zeigen, dass eine derartige Funktion existiert und dass sie eindeutig ist.

Wichtige Eigenschaften des brouwerschen Abbildungsgrades

  • Ist d(f,\Omega,y) \neq 0, so ist die Gleichung f(x) = y auf Ω lösbar.
  • Ist g \in C(\bar{\Omega}) mit
    \max\{|f(x)-g(x)|\, \colon x \in \partial \Omega\} < \mathrm{dist}(y, f(\partial\Omega)),
    so gilt d(f,Ω,y) = d(g,Ω,y).
    Insbesondere ist der Abbildungsgrad durch die Werte auf \partial\Omega eindeutig festgelegt.
  • Liegen y1 und y2 in derselben Zusammenhangskomponente Z von \mathbb{R}^n\setminus f(\partial\Omega), so gilt d(f,Ω,y1) = d(f,Ω,y2).
    Man schreibt daher auch kurz d(f,Ω,Z) für d(f,Ω,y), um anzudeuten, dass der Abbildungsgrad nicht von dem Punkt, sondern von der Komponente abhängt.
  • Seien f: \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^n und g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n stetig und Ki die beschränkten Zusammenhangskomponenten von \mathbb{R}^n\setminus f(\partial\Omega) sowie y \in \mathbb{R}^n \setminus (g\circ f)(\partial \Omega), dann gilt die leraysche Produktformel
    d(g\circ f, \Omega ,y) = \sum_i d(f,\Omega, K_i)\cdot d(g, K_i, y),
    worin nur endlich viele Summanden von null verschieden sind.

Darstellungen des Abbildungsgrades

  • Falls f zusätzlich auf Ω stetig differenzierbar ist und alle Punkte in f − 1(y) regulär sind, das heißt, die Determinante der Jacobimatrix J(f)(x) ist in diesen Punkten x \in f^{-1}(y) nicht null, so gilt
    d(f,\Omega,y) = \sum_{x \in f^{-1}(y)} \mathrm{sgn}\left(\det(J(f)(x))\right)\, .
    Ist f nicht stetig differenzierbar, dann kann man aufgrund der zweiten Eigenschaft eine Funktion g \in C^1(\Omega) \cap C(\bar{\Omega}) wählen, die den gleichen Abbildungsgrad wie f hat.
  • Sei f \colon \overline{\Omega} \to \R^n wieder stetig auf \overline{\Omega} und stetig differenzierbar auf Ω, y \notin f(\partial \Omega) kein kritischer Punkt. Sei außerdem (\phi_\epsilon)_{\epsilon > 0} eine Schar stetiger Funktionen von \R^n nach \R mit \operatorname{supp}(\phi_\epsilon) \subset \overline{K_\epsilon(0)} und \textstyle \int_{\R^n} \phi_{\epsilon}(x) \mathrm{d} x= 1 für alle \epsilon > 0 wählen, hierbei bezeichnet \overline{K_\epsilon(0)} \subset \R^n den abgeschlossenen Ball vom Radius \epsilon um Null. Dann existiert ein \epsilon_0(f,y), so dass die Integralformel
    d(f, \Omega, y) = \int_\Omega \phi_\epsilon (f(x) - y) J(f)(x) \mathrm{d} x
    für alle \epsilon \geq \epsilon_0(f,y) gilt.

Windungszahl

Der brouwersche Abbildungsgrad umfasst als Spezialfall die in der Funktionentheorie wichtige Windungszahl \operatorname{ind}. Identifiziert man \R^2 mit \C, so ist der brouwersche Abbildungsgrad auch für die komplexe Ebene definiert. Eine geschlossene Kurve \gamma \colon [0,1] \to \C kann man als stetiges Bild von von \mathbb{S}(0) verstehen. Mit \mathbb{S}(0) \subset \C wird der Einheitskreisring um den Punkt null bezeichnet. Das heißt, es existiert eine stetige und surjektive Abbildung f \colon \mathbb{S}(0) \to \operatorname{Bild}(\gamma). Ist nun a\notin \gamma = f(\mathbb{S}(0)), so ist aufgrund der Stetigkeit des Abbildungsgrades der Ausdruck d(f,K1(0),a) für alle stetigen Fortsetzungen von f dieselbe Zahl. Es gilt nun


d(f,K_1(0),a) = \sum_{x \in f^{-1}(a)} \mathrm{sgn}\left(\det(J(f)(x))\right) = \sum_{x \in f^{-1}(a)} \frac{1}{2 \pi i}\int_{f(S^+_x)} \frac{\mathrm{d} z}{z - a} = \frac{1}{2 \pi i}\int_{f(\mathbb{S}(0))} \frac{\mathrm{d} z}{z - a} = \operatorname{ind}(f(S) , a),

hierbei bezeichnet S^+_x einen genügend kleinen Kreisring um x. Insbesondere zur Rechtfertigung des letzten Gleichheitszeichen sind noch ein paar Fakten aus der Topologie nötig.

Der leray-schaudersche Abbildungsgrad

Der leray-schaudersche Abbildungsgrad ist ein Analogon des brouwerschen Fixpunktsatzes für (unendlichdimensionale) Banachräume. Dieser Abbildungsgrad wurde 1934 von J. Leray und J. Schauder definiert. [1] Jedoch ist es nicht möglich, den Abbildungsgrad für beliebige stetige Funktionen zu definieren, sondern man darf nur noch kompakte Störungen der Identität zulassen.

Kompakte Störungen der Identität

Seien X,Y Banachräume und M eine Teilmenge des Banachraums X. Eine Funktion K: M \rightarrow Y heißt kompakter Operator, falls

Ein Operator F \colon M \subset X \rightarrow X, der sich als F = \operatorname{Id} - K mit einem kompakten Operator K darstellen lässt, heißt kompakte Störung der Identität.

Kompakte Homotopie

Eine kompakte Homotopie ist eine Homotopie zwischen kompakten Operatoren. Es sei M \subset X offen und beschränkt und K: t \mapsto K(t) für t \in [0, 1] eine operatorwertige Funktion mit kompakten Operatoren K(t): M \subset X \rightarrow X. Diese operatorwertige Funktion K heißt kompakte Homotopie auf M, falls zu jedem \varepsilon > 0 ein δ > 0 existiert, so dass

\|K(t_1)(x) - K(t_2)(x)\|_X \leq \varepsilon

für alle x \in M und t_1, t_2 \in [0, 1] mit | t1t2 | < δ gilt.

Definition

Sei F = \operatorname{Id} - K \colon \overline{M} \subset X \rightarrow X eine kompakte Störung der Identität, M \subset X offen und beschränkt und 0 \neq F(\partial M). Dann ist der leray-schaudersche Abbildungsgrad eine Zuordnung auf eine ganze Zahl d(F, M, 0) \in \mathbb{Z}, so dass Eigenschaften

  • Ist d(F, M, 0) \neq 0, so ist die Gleichung F(x) = 0 lösbar.
  • Homotopieinvarianz: Ist K eine kompakte Homotopie auf \overline{M} mit K(t)(x) \neq x für alle t \in [0, 1] und x \in \partial M, so ist der Abbildungsgrad d((\operatorname{Id}-K)(t), M, 0) unabhängig von t \in [0, 1].

gelten.

Beispiel

Die wichtigste Methode zur Berechnung des leray-schauderschen Abbildungsgrades führt, genau wie beim brouwerschen Abbildungsgrad, über die Homotopieinvarianz.

Interessiert man sich beispielsweise dafür, ob die Gleichung xF0(x)x = y eine Lösung in \overline{\Omega} hat, so sucht man zunächst einen passenden Raum, so dass F0 ein kompakter Operator ist. Um die Lösbarkeit nachzuweisen, nimmt man nun indirekt an, dass x - F_0(x) \neq y auf \partial\Omega gilt, weil sonst nichts mehr zu zeigen ist.

Anschließend sucht man eine kompakte Homotopie H mit H(1) = F0 und x - H(t)(x) \neq y für alle t \in [0, 1] und x \in \partial \Omega. Diese Homotopie sollte so gewählt sein, dass man für den leray-schauderschen Abbildungsgrad d(I-H(0), \Omega, y) \neq 0 nachweisen kann. Daraus folgt nämlich d(I-H(t), \Omega, y) \neq 0 für alle t \in [0, 1] und somit die Existenz eines x \in \Omega mit xF0(x)x = y.

Für ein konkretes Beispiel sei das Anfangswertproblem

x' = f(t,x)

für  t \in [0,a] und x(0) = x0 gegeben. Man kann zeigen, dass es mindestens eine Lösung hat, falls f \colon [0,a] \times \R^n \to \R^n stetig ist und falls |f(t,x)| \leq B(1 + |x|) auf [0,a] \times \R^n für ein geeignetes B \geq 0 gilt. Um dies zu sehen, schreibt man das System von Differentialgleichungen in das System

x(t) = x_0 + \int_0^t f(\tau,x(\tau)) \mathrm{d} \tau

von Integralgleichungen um. Da beide Gleichungen äquivalent sind, reicht es zu zeigen, dass die Integralgleichung eine stetige Lösung besitzt. Diese ist dann auch differenzierbar. Daher wählt man X = C([0,a]) als den Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall [0,a] mit der Maximumsnorm \textstyle \|x\| = \max_{t \in [0,a]} |x(t)|. Außerdem setzt man

F_0(x)(t) := x_0 + \int_0^t f(\tau,x(\tau)) \mathrm{d} \tau\,.

Aufgrund des Satzes von Arzelà-Ascoli ist F0 ein kompakter Operator und H(t)(x) := t\cdot F_0(x) eine kompakte Homotopie. Da die Existenz einer Lösung von xF0(x) = 0 untersucht wird, wird y = 0 gesetzt. Da |f(t,x)| \leq B(1 + |x|) vorausgesetzt wurde, kann man zeigen, dass es reicht, Ω: = Br(0) mit einem r > (|x_0| + B \cdot a)e^{-Ba} zu wählen, und erhält aufgrund der Homotopieinvarianz

d(I-F_0, B_r(0),y) = d(I, B_r(0),y) = 1\,.

Damit ist gezeigt, dass die Integralgleichung mindestens eine stetige Lösung besitzt.

Literatur

  • Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1.
  • Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20066-5.
  • Andrzej Granas, James Dugundji: Fixed point theory. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2003, ISBN 9780387001739.

Einzelnachweise

  1. Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Seite 37.

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Odd-Number-Theorem — Dieser Artikel wurde den Mitarbeitern der Redaktion Physik zur Qualitätssicherung aufgetragen. Wenn Du Dich mit dem Thema auskennst, bist Du herzlich eingeladen, Dich an der Prüfung und möglichen Verbesserung des Artikels zu beteiligen. Der… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Borsuk-Ulam — Der Satz von Borsuk Ulam besagt, dass jede stetige Funktion von einer n Sphäre in den n dimensionalen euklidischen Raum ein Paar von antipodalen Punkten auf denselben Punkt abbildet. (Zwei Punkte einer Sphäre heißen antipodal, wenn sie in genau… …   Deutsch Wikipedia

  • Fixpunktsatz von Lefschetz — Der Fixpunktsatz von Lefschetz ist eine Existenzaussage über Fixpunkte von gewissen stetigen Abbildungen. Grundlage des von Solomon Lefschetz 1926 bewiesenen[1] Satzes ist die sogenannte Lefschetz Zahl, bei der es sich um eine Homotopie… …   Deutsch Wikipedia

  • Jean Leray — in Oberwolfach, 1961 Jean Leray (* 7. November 1906 in Chantenay sur Loire (heute Teil von Nantes); † 10. November 1998 in La Baule Escoublac, Département Loire Atlantique) war ein französischer Mathematiker. Bekannt ist sein Name vor allem durch …   Deutsch Wikipedia

  • Jordanscher Kurvensatz — geschlossene Jordankurve Der jordansche Kurvensatz ist ein wichtiges Ergebnis im mathematischen Teilgebiet der Topologie. Jede geschlossene Jordankurve in der euklidischen Ebene zerlegt diese in zwei disjunkte Gebiete, deren gemeinsamer Rand die… …   Deutsch Wikipedia

  • L.E.J. Brouwer — Luitzen E. J. Brouwer (* 27. Februar 1881 in Overschie; † 2. Dezember 1966 in Blaricum) war ein niederländischer Mathematiker. Er schuf grundlegende topologische Methoden und Begriffe und bewies bedeutende topologische Sätze. Nach ihm ist der… …   Deutsch Wikipedia

  • L. E. J. Brouwer — Luitzen E. J. Brouwer (* 27. Februar 1881 in Overschie; † 2. Dezember 1966 in Blaricum) war ein niederländischer Mathematiker. Er schuf grundlegende topologische Methoden und Begriffe und bewies bedeutende topologische Sätze. Nach ihm ist der… …   Deutsch Wikipedia

  • Luitzen Brouwer — Luitzen E. J. Brouwer (* 27. Februar 1881 in Overschie; † 2. Dezember 1966 in Blaricum) war ein niederländischer Mathematiker. Er schuf grundlegende topologische Methoden und Begriffe und bewies bedeutende topologische Sätze. Nach ihm ist der… …   Deutsch Wikipedia

  • Luitzen E. J. Brouwer — (* 27. Februar 1881 in Overschie; † 2. Dezember 1966 in Blaricum) war ein niederländischer Mathematiker. Er schuf grundlegende topologische Methoden und Begriffe und bewies bedeutende topologische Sätze. Nach ihm ist der Brouwersche Fixpunktsatz… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Hurwitz — In der Mathematik sind verschiedene Sätze als Satz von Hurwitz bekannt: der Satz von Hurwitz in der Funktionentheorie über den Abbildungsgrad einer Folge holomorpher Funktionen der Satz von Hurwitz über Automorphismengruppen über die Grösse der… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”