Abelisierung

Die Abelisierung (nach Niels Henrik Abel) ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Die Abelisierung einer Gruppe ist in gewisser Hinsicht die beste Approximation durch eine abelsche Gruppe.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die Faktorgruppe

Gab = G / K(G)

einer Gruppe G nach ihrer Kommutatoruntergruppe K(G) wird Abelisierung von G genannt. Der Begriff Abelisierung wird ebenfalls für die kanonische Surjektion

G\to G^\mathrm{ab}

verwendet.

Eigenschaften

  • Die Abelisierung ist eine abelsche Gruppe; die Abelisierung einer abelschen Gruppe ist die Gruppe selbst.
  • Ist G_1\to G_2 ein Gruppenhomomorphismus, so induziert die Verkettung G_1\to G_2\to G_2^\mathrm{ab} einen kanonischen Homomorphismus G_1^\mathrm{ab}\to G_2^\mathrm{ab}; die Abelisierung ist funktoriell.
  • Die Abelisierung ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der abelschen Gruppen in die Kategorie aller Gruppen, d. h. ist G eine beliebige Gruppe und A eine abelsche Gruppe, so induziert die kanonische Abbildung G\to G^\mathrm{ab} eine Bijektion
\operatorname{Hom}(G^\mathrm{ab},A)\cong\operatorname{Hom}(G,A).
Anders gesagt: Jeder Homomorphismus in eine abelsche Gruppe faktorisiert über die Abelisierung.
H^2(G,\mathbb Z)\cong H^1(G,\mathbb Q/\mathbb Z)\cong\operatorname{Hom}(G,\mathbb Q/\mathbb Z).

Beispiele

Verlagerung

Ist H eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G, so gibt es einen kanonischen Homomorphismus

\operatorname{Ver}\colon G^\mathrm{ab}\to H^\mathrm{ab},

der Verlagerung genannt wird. Sie ist dual zur Korestriktion

\operatorname{cor}\colon H^2(H,\mathbb Z)\to H^2(G,\mathbb Z),

lässt sich aber auch explizit beschreiben: Es sei s\colon H\backslash G\to G ein Schnitt der kanonischen Projektion (kein Homomorphismus, lediglich eine Abbildung). Dann ist die Verlagerung gegeben durch

\operatorname{Ver}(g)=\prod_{c\in H\backslash G}s(c)gs(cg)^{-1} \qquad(g\in G).[2]

Quellen

  1. J. P. May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9: Abschnitte 14.4 und 15.1
  2. J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg: Cohomology of number fields. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1999, ISBN 3-540-66671-0: Abschnitt I.5, S. 50f.

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