CAR-Algebra

Die CAR-Algebra ist eine im mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis betrachtete Algebra. Es handelt sich um eine C*-Algebra, die eng mit den in der Quantenmechanik untersuchten kanonischen Antivertauschungsrelationen (engl. canonical anticommutation relation, daher der Name CAR) verbunden ist und die daher auch Fermionenalgebra genannt wird.

Konstruktion

Bezeichnet M_n die C*-Algebra der komplexen $n\times n$-Matrizen, so kann man $M_{2^n}$ vermöge des isometrischen *-Homomorphismus

$M_{2^n}\rightarrow M_{2^{n+1}}, \quad X \mapsto \begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & X \end{pmatrix}$

als Unteralgebra von $M_{2^{n+1}}$ auffassen. Auf der Vereinigung aller so ineinander liegenden Matrizenalgebren hat man dann eine Norm, die jede der C*-Normen auf $M_{2^n}$ fortsetzt und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist dann eine C*-Algebra, die man die CAR-Algebra nennt.

Kanonische Antivertauschungsrelationen

Es seien H ein separabler Hilbertraum und $\alpha:H\rightarrow L(H)$ eine lineare Abbildung in die C*-Algebra L(H) der stetigen, linearen Operatoren auf H mit folgenden Eigenschaften:

$\alpha(x)\alpha(y) + \alpha(y)\alpha(x) \,=\, 0$

$\alpha(x)\alpha(y)^* + \alpha(y)\alpha(x)^* \,=\, \langle x,y\rangle \mathrm{id}_H$

für alle Vektoren $x,y\in H$.

Man sagt, α erfülle die kanonischen Antivertauschungsrelationen; diese werden von den in der Quantenmechanik betrachteten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen erfüllt. Solche Abbildungen α lassen sich beispielsweise auf dem Fockraum realisieren. Die Isomorphieklasse der von den Operatoren α(x) erzeugten C*-Algebra erweist sich als unabhängig von der speziellen Auswahl der Abbildung α, denn es gilt: ^[1]

• Die von allen Operatoren $\alpha(x),\, x\in H$ erzeugte C*-Algebra ist isomorph zur CAR-Algebra.

Ist $(x_n)_{n\in \N}$ eine Orthonormalbasis von H, so kann die Einbettung $C^*(\alpha(x_1),\ldots,\alpha(x_n)) \subset C^*(\alpha(x_1),\ldots,\alpha(x_{n+1}))$ mit obiger Einbettung $M_{2^n} \rightarrow M_{2^{n+1}}$ identifiziert werden ($C^*(\ldots)$ steht hier für die von in den Klammern aufgelisteten Operatoren erzeugte C*-Algebra).

Als UHF-Algebra und AF-Algebra

Ihrer Konstruktion nach ist die CAR-Algebra eine UHF-Algebra, und zwar diejenige zur übernatürlichen Zahl $2^\infty$ (siehe dazu den Artikel UHF-Algebra). Als UHF-Algebra ist sie auch eine AF-C*-Algebra und daher unter allen AF-C*-Algebren durch ihre geordnete skalierte K₀-Gruppe ausgezeichnet. Diese ist $\Z[\frac{1}{2}]$ mit der durch [0,1] gegebenen Skala^[2]. $\Z[\frac{1}{2}]$ steht dabei für die Menge aller rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.

Produktzustände und Typ III-Faktoren

Zu jedem $\lambda\in [0,1]$ kann man rekursiv Zustände $\varphi_\lambda^{(n)}:M_{2^n}\rightarrow \C$ definieren, wobei

• $\varphi_\lambda^{(0)}:M_{2^0}\cong \C \rightarrow \C$ die identische Abbildung sei und
• $\varphi_\lambda^{(n)}(x) = \lambda \varphi_\lambda^{(n-1)}(x_{1,1})+(1-\lambda) \varphi_\lambda^{(n-1)}(x_{2,2})$ für jedes n > 0, wobei x = (x_i,j) als $2\times 2$-Matrix mit Elementen aus $M_{2^{n-1}}$ geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von $\varphi_\lambda^{(n)}$ auf $M_{2^{n-1}}$ gleich $\varphi_\lambda^{(n-1)}$, denn gemäß der hier betrachteten Einbettung von $M_{2^{n-1}}$ nach $M_{2^n}$ ist

$(\varphi_\lambda^{(n)}|_{M_{2^{n-1}}})(x) = \varphi_\lambda^{(n)}(\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix}) = \lambda \varphi_\lambda^{(n-1)}(x)+(1-\lambda) \varphi_\lambda^{(n-1)}(x) = \varphi_\lambda^{(n-1)}(x)$.

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand φ_λ, der auf allen $M_{2^n}$ mit $\varphi_\lambda^{(n)}$ übereinstimmt. Dieser heißt der zu λ gehörige Produktzustand. Die Bezeichnung Produktzustand rührt daher, dass man ihn auch über Tensorprodukt-Konstruktionen gewinnen kann, was hier aber nicht ausgeführt wird. Nach J. Glimm lassen sich mittels dieser Zustände wie folgt Faktoren vom Typ III konstruieren.

Zum Zustand ϕ_λ gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung $\pi_\lambda:A \rightarrow L(H_\lambda)$ auf einem Hilbertraum H_λ. Für $0 < \lambda < \frac{1}{2}$ ist das Bild $\pi_\lambda(A)\subset L(H_\lambda)$ eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ III ist.^[3]. Je zwei solche Faktoren zu verschiedenen Zahlen aus dem offenen Intervall $(0,\frac{1}{2})$ sind nicht isomorph.^[4]

GICAR-Algebra

Sei $\alpha:H\rightarrow L(H)$ eine Abbildung, die den oben definierten kanonischen Antivertauschungsrelationen genügt. Ist $\mu \in \C$ mit | μ | = 1, so erfüllt auch $\beta:H\rightarrow L(H),\,x\mapsto \alpha(\mu x)$ die kanonischen Antivertauschungsrelationen, wie man leicht nachrechnen kann. Da die von den α(x) bzw. von den β(x) erzeugte C*-Algebra, wobei x den Hilbertraum durchläuft, in beiden Fällen die CAR-Algebra A ist, kann man zeigen, dass man einen Automorphismus $\sigma_\mu:A\rightarrow A$ erhält, den man Eichautomorphismus nennt.

Die C*-Unteralgebra derjenigen Elemente von A, die unter allen Eichautomorphismen σ_μ, | μ | = 1 invariant sind, heißt GICAR-Algebra. Dabei steht GI für gauge-invariant (deutsch: eich-invariant). Man kann zeigen, dass die GICAR-Algebra eine AF-C*-Algebra ist. Während die CAR-Algebra einfach ist, das heißt sie hat keine nicht-trivialen zweiseitigen Ideale, hat die GICAR-Algebra eine reiche Idealstruktur, die man an ihrem Bratteli-Diagramm ablesen kann. Dieses hat die Form des Pascalschen Dreiecks ^[5]:

$\begin{matrix} & & & & & & 1 & \\ & & & & & \nearrow & &\\ & & & & 1 & & & \ldots \\ & & & \nearrow & & \searrow & & \\ & & 1 & & & & 3 & \\ & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \\ 1 & & & & 2 & & & \ldots \\ & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \\ & & 1 & & & & 3 & \\ & & & \searrow & & \nearrow & & \\ & & & & 1 & & & \ldots \\ & & & & & \searrow & &\\ & & & & & & 1 & \end{matrix}$

Einzelnachweise

1. ↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-821-80599-1, Example III.5.4.
2. ↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-821-80599-1, Example IV.3.4.
3. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 6.5.15.
4. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 8.15.13.
5. ↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-821-80599-1: Example III.5.5.