- Diskalgebra
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Die Diskalgebra (manchmal auch Discalgebra) ist eine in den mathematischen Teilgebieten Funktionalanalysis und Funktionentheorie betrachtete Algebra. Viele funktionalanalytische Eigenschaften der Diskalgebra sind direkte Folgen funktionentheoretischer Sätze.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Bezeichnet
die Kreisscheibe, so sei
die Menge aller stetigen Funktionen
, die im Inneren
holomorph sind.
Die Definitionen
,
wobei
, machen
zu einer komplexen Algebra mit Involution * , zur sogenannten Diskalgebra.[1]
Offenbar ist
eine Unteralgbra der Funktionenalgebra
der stetigen Funktionen
.
ist bzgl. der Supremumsnorm, die
zu einer Banachalgebra macht, abgeschlossen, denn gleichmäßige Limiten holomorpher Funktionen sind wieder holomorph.
ist daher selbst eine Banachalgebra, sogar mit isometrischer Involution, das heißt es gilt
für alle
. Die Diskalgebra ist auch Unterbanachalgebra von
, der Banachalgebra aller auf
holomorphen und beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm.
Mittels Einschränkung auf den Rand
von
erhält man eine Abbildung
. Diese Abbildung ist nach dem Maximumprinzip für holomorphe Funktionen ein isometrischer Homomorphismus. In diesem Sinne kann man
auch als Unterbanachalgebra von
auffassen.
ist dann die Menge aller stetigen Funktionen auf
, die sich holomorph nach
fortsetzen lassen. Dies wäre eine alternative Definition der Diskalgebra.
Die Diskalgebra wird von
erzeugt, das heißt, die kleinste Unterbanachalgebra, die diese Funktion enthält, ist die Diskalgebra selbst. [2]
Der Gelfandraum
Für jedes
ist die Punktauswertung
ein Homomorphismus und damit ein Element des Gelfand-Raums
der Diskalgebra. Man kann zeigen, dass mit den δz bereits alle Homomorphismen der Diskalgebra mit Werten in den komplexen Zahlen gefunden sind, und dass die Abbildung
ein Homöomorphismus ist, wobei die sogenannte Gelfandtopologie durch die relative schwach-*-Topologie auf
gegeben ist. Der Gelfandraum der Diskalgebra kann daher mit der Kreisscheibe identifiziert werden. Bei dieser Identifikation ist die Gelfand-Transformation die Identität auf der Diskalgebra.
Die Nicht-Regularität der Diskalgebra
Auf dem Gelfandraum XA einer kommutativen Banachalgebra betrachtet man die sogenannte Hülle-Kern-Topologie, die durch die Abschlussoperation
gegeben ist. Fällt diese mit der Gelfandtopologie zusammen, so nennt man die Banachalgebra regulär. Die Diskalgebra ist ein Beispiel für eine nicht-reguläre Banachalgebra.[3] In der Tat ist bei der Identifikation
die Menge
abgeschlossen in der Gelfandtopologie. Ist nun
, so folgt
für alle n, und aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt f = 0. Daher ist
und es folgt
bzgl. der Hülle-Kern-Topologie, letztere kann daher nicht mit der Gelfandtopologie übereinstimmen.
Der Schilowrand
Identifiziert man
mit
, so fällt der topologische Rand
mit dem Schilow-Rand zusammen. Dazu ist zu zeigen, dass jede Funktion der Diskalgbera, die wegen der vorgenommenen Identifikation ja mit ihrer Gelfand-Transformierten übereinstimmt, ihr Betragsmaximum auf dem Rand der Kreisscheibe annimmt, aber das ist genau die Aussage des Maximumprinzips für holomorphe Funktionen.[4]
Einzelnachweise
- ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.16
- ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §19.3
- ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §23.9
- ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22.5 für n=1
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