Diskalgebra

Diskalgebra

Die Diskalgebra (manchmal auch Discalgebra) ist eine in den mathematischen Teilgebieten Funktionalanalysis und Funktionentheorie betrachtete Algebra. Viele funktionalanalytische Eigenschaften der Diskalgebra sind direkte Folgen funktionentheoretischer Sätze.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Bezeichnet \mathbb{D}:=\{z\in \C;\, |z|\le 1\} die Kreisscheibe, so sei A(\mathbb{D}) die Menge aller stetigen Funktionen f:\mathbb{D}\rightarrow \C, die im Inneren \mathbb{D}^\circ holomorph sind.

Die Definitionen

\begin{array}{rcl}(\lambda f)(z) &:=& \lambda f(z) \\
(f+g)(z) &:=& f(z)+g(z)\\
(fg)(z) &:=& f(z)g(z)\\
(f^*)(z) &:=& \overline{f(\overline{z})}\\
\end{array},

wobei \lambda\in \C, z\in \mathbb{D}, f,g \in A(\mathbb{D}), machen A(\mathbb{D}) zu einer komplexen Algebra mit Involution * , zur sogenannten Diskalgebra.[1]

Offenbar ist A(\mathbb{D}) eine Unteralgbra der Funktionenalgebra C(\mathbb{D}) der stetigen Funktionen \mathbb{D}\rightarrow \C. A(\mathbb{D}) ist bzgl. der Supremumsnorm, die C(\mathbb{D}) zu einer Banachalgebra macht, abgeschlossen, denn gleichmäßige Limiten holomorpher Funktionen sind wieder holomorph. A(\mathbb{D}) ist daher selbst eine Banachalgebra, sogar mit isometrischer Involution, das heißt es gilt \|f^*\| = \|f\| für alle f\in A(\mathbb{D}). Die Diskalgebra ist auch Unterbanachalgebra von H^{\infty}, der Banachalgebra aller auf \mathbb{D}^\circ holomorphen und beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm.

Mittels Einschränkung auf den Rand \partial \mathbb{D} von \mathbb{D} erhält man eine Abbildung A(\mathbb{D})\rightarrow C(\partial \mathbb{D}), \, f\mapsto f|_{\partial \mathbb{D}}. Diese Abbildung ist nach dem Maximumprinzip für holomorphe Funktionen ein isometrischer Homomorphismus. In diesem Sinne kann man A(\mathbb{D}) auch als Unterbanachalgebra von C(\partial \mathbb{D}) auffassen. A(\mathbb{D}) ist dann die Menge aller stetigen Funktionen auf \partial \mathbb{D}, die sich holomorph nach \mathbb{D}^\circ fortsetzen lassen. Dies wäre eine alternative Definition der Diskalgebra.

Die Diskalgebra wird von \mathrm{id}_\mathbb{D} erzeugt, das heißt, die kleinste Unterbanachalgebra, die diese Funktion enthält, ist die Diskalgebra selbst. [2]

Der Gelfandraum

Für jedes z\in \mathbb{D} ist die Punktauswertung \delta_z:A(\mathbb{D})\rightarrow \C,\, f\mapsto f(z) ein Homomorphismus und damit ein Element des Gelfand-Raums X_{A(\mathbb{D})} der Diskalgebra. Man kann zeigen, dass mit den δz bereits alle Homomorphismen der Diskalgebra mit Werten in den komplexen Zahlen gefunden sind, und dass die Abbildung \delta:\mathbb{D}\rightarrow X_{A(\mathbb{D})},\, z\mapsto \delta_z ein Homöomorphismus ist, wobei die sogenannte Gelfandtopologie durch die relative schwach-*-Topologie auf X_a\subset A^' gegeben ist. Der Gelfandraum der Diskalgebra kann daher mit der Kreisscheibe identifiziert werden. Bei dieser Identifikation ist die Gelfand-Transformation die Identität auf der Diskalgebra.

Die Nicht-Regularität der Diskalgebra

Auf dem Gelfandraum XA einer kommutativen Banachalgebra betrachtet man die sogenannte Hülle-Kern-Topologie, die durch die Abschlussoperation

\overline{E} := \{\delta\in X_A;\, \ker(\delta) \supset \bigcap_{\phi\in E}\ker(\phi)\}

gegeben ist. Fällt diese mit der Gelfandtopologie zusammen, so nennt man die Banachalgebra regulär. Die Diskalgebra ist ein Beispiel für eine nicht-reguläre Banachalgebra.[3] In der Tat ist bei der Identifikation X_{A(\mathbb{D})} = \mathbb{D} die Menge E:= \{0\}\cup\{\frac{1}{n};\, n\in \N\} abgeschlossen in der Gelfandtopologie. Ist nun f\in\bigcap_{n\in \N}\ker(\delta_{\frac{1}{n}}), so folgt f(\frac{1}{n})=0 für alle n, und aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt f = 0. Daher ist \bigcap_{\phi\in E}\ker(\phi) = \{0\} und es folgt \overline{E}=X_A bzgl. der Hülle-Kern-Topologie, letztere kann daher nicht mit der Gelfandtopologie übereinstimmen.

Der Schilowrand

Identifiziert man X_{A(\mathbb{D})} mit \mathbb{D}, so fällt der topologische Rand \partial \mathrm{D}=\{z\in \C;\, |z|= 1\} mit dem Schilow-Rand zusammen. Dazu ist zu zeigen, dass jede Funktion der Diskalgbera, die wegen der vorgenommenen Identifikation ja mit ihrer Gelfand-Transformierten übereinstimmt, ihr Betragsmaximum auf dem Rand der Kreisscheibe annimmt, aber das ist genau die Aussage des Maximumprinzips für holomorphe Funktionen.[4]

Einzelnachweise

  1. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.16
  2. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §19.3
  3. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §23.9
  4. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22.5 für n=1

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