Ableitungs- und Stammfunktionen

Diese Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen (Integraltafel) gibt eine Übersicht über Ableitungsfunktionen und Stammfunktionen, die in der Differential- und Integralrechnung benötigt werden.

Inhaltsverzeichnis

Tabelle einfacher Ableitungs- und Stammfunktionen (Grundintegrale)

Diese Tabelle ist zweispaltig aufgebaut. In der linken Spalte steht die Ableitung der Funktion in der rechten Spalte, umgekehrt ist die Funktion in der rechten Spalte eine Stammfunktion der Funktion in der linken Spalte.

Hinweis: Wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann ist auch für jede Konstante C die Funktion F(x) + C eine Stammfunktion von f(x). Zum Beispiel ist auch F(x)=\frac{1}{2}x^2+5 eine Stammfunktion von f(x) = x. Die additive Konstante C wird aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht aufgeführt. Weiterhin gilt: Falls F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, so ist aufgrund der Linearität des Integrals a\cdot F(x) eine Stammfunktion von a\cdot f(x).

Potenz- und Wurzelfunktionen

Funktion f(x) Stammfunktion F(x)
0\; C\;
k\;(k\in\R) kx\;
x^n\; \left\{\begin{matrix} \frac{1}{n+1}x^{n+1} & \mbox{wenn }n\neq-1 \\ \ln \left| x \right| & \mbox{wenn } n=-1 \end{matrix}\right.
f'_{(x)} f_{(x)}^n\; \frac{1}{n+1}f_{(x)}^{n+1}\;
nx^{n-1} \, x^n,\quad n\neq0
x\; \tfrac12 x^2\;
2x\; x^2\;
x^2\; \tfrac13 x^3\;
\sqrt x\; \tfrac23 x^\tfrac32\;
3x^2\; x^3\;
\frac{1}{2 \sqrt{x}}\; \sqrt{x}\;
\frac{1}{n (\sqrt[n]{x})^{n-1}}\; \sqrt[n]{x}\;
-\frac{2}{x^3}\; \frac{1}{x^2}\;
-\frac{1}{x^2}\; \frac{1}{x}\;

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Funktion f(x) Stammfunktion F(x)
e^x\; e^x\;
e^{kx}\; \frac{1}{k}e^{kx}\;
a^x\ln a\;(a>0) a^x\;
a^x\; \frac{a^x}{\ln a}\;
xx(1 + ln(x)) xx (x > 0)
e^{x \ln \left| x \right|}(\ln \left| x \right| + 1)\; \left| x \right|^x =  e^{x \ln \left| x \right|}
(x\neq 0)
\frac{1}{x}\; \ln \left| x \right| \;
\ln x\; x\ln x -x\;
u'(x) \ln u(x)\; u(x) \ln u(x) - u(x)\;
\frac{1}{x}\ln^{n}x \;\;(n\neq-1)\; \frac{1}{n+1}\ln^{n+1}x\;
\frac{1}{x}\ln{x^n} \;\; (n\neq0)\; \frac{1}{2n}\ln^2{x^n}\;
\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a}\; \log_a x\;
\frac{1}{x\ln x}\; \ln\left| \ln x \right| \; für (x > 0, x ≠ 1)
\log_a x\; \frac{1}{\ln a}(x\ln x -x)\;
\sqrt{a^2 - x^2} \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \left(\frac{x}{a} \right)
\sqrt{a^2 + x^2} \frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \ln \left(x + \sqrt{a^2 + x^2} \right)

Trigonometrische und Hyperbelfunktionen

Funktion f(x) Stammfunktion F(x)
 \sin x\; -\cos x\;
\cos x\; \sin x\;
 \tan x\; -\ln|\cos x|\;
\cot x\; \ln|\sin x|\;
\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\; \tan x\;
\frac{-1}{\sin^2 x}=-(1+\cot^2 x)\; \cot x\;
\arcsin x\; x\arcsin x +\sqrt {1-x^2}\;
\arccos x\; x\arccos x -\sqrt {1-x^2}\;
\arctan x\; x \arctan x -\tfrac12 \ln \left(1+x^2 \right)\;
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\; \arcsin x\;
\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\; \arccos x\;
\frac {1} {x^2+1}\; \arctan x\;
\frac {x^2} {x^2+1}\; x - \arctan x\;
\frac {1} {(x^2+1)^2}\; \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x^2+1}+\arctan x\right)\;
\sinh x\; \cosh x\;
\cosh x\; \sinh x\;
\tanh x\; \ln \cosh x\;
\coth x\; \ln|\sinh x|\;
\frac{1}{\cosh^2 x} =1-\tanh^2 x\; \tanh x\;
\frac{-1}{\sinh^2 x} =1-\coth^2 x\; \coth x\;
\operatorname{arsinh}\;x\; x\;\operatorname{arsinh}\;x -\sqrt{x^2+1}\;
\operatorname{arcosh}\;x\; x\;\operatorname{arcosh}\;x -\sqrt{x^2-1}\;
\operatorname{artanh}\;x\; x\;\operatorname{artanh}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(1-x^2\right)}\;
\operatorname{arcoth}\;x\; x\;\operatorname{arcoth}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(x^2-1\right)}\;
\frac{1}{\sqrt {x^2+1}}\; \operatorname{arsinh}\;x\;
\frac{1}{\sqrt {x^2-1}}\;,\;x>1 \operatorname{arcosh}\;x\;
\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left| x \right|<1 \operatorname{artanh}\;x\;
\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left| x \right|>1 \operatorname{arcoth}\;x\;
\sin^{2} k x\; \frac{x}2 - \frac{\sin(2 k x)}{4k}
\cos^{2} k x\; \frac{x}2 + \frac{\sin(2 k x)}{4k}

Sonstige

Funktion f(x) Stammfunktion F(x)
e^{-x^2} \frac{\sqrt{\pi}}{2}\;\operatorname{Erf}\;x
e^{-a x^2 + b x + c} \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{a}}\;e^{\frac{b^2}{4 a} + c}\;\operatorname{Erf}\;\left(\sqrt{a}\;x - \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)
\frac {u'(x)} {u(x)} \ln \left| u(x) \right| \,
 u'(x) \cdot u(x)  \tfrac12 (u(x))^2

Rekursionsformeln für weitere Stammfunktionen

\int\frac{1}{(x^2+1)^n}\, \mathrm d x =
 \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}
 + \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\, \mathrm d x,\quad n\geq 2
\int\sin^n(x)d x =
\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} xdx -\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1} x,\quad n\geq 2
\int\cos^n(x)d x =
\frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} xdx +\frac{1}{n}\sin x\cos^{n-1} x,\quad n\geq 2

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