Ableitungsmatrix

Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix oder Ableitungsmatrix genannt) einer differenzierbaren Funktion f\colon {\mathbb{R}^n}  \to {\mathbb{R}^m} \,\! ist die m \times n-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Sie ist eine Darstellungsmatrix, also die Darstellung einer linearen Abbildung mittels einer Matrix, der Ableitung der Funktion f, wenn man als Basis die Standardbasis verwendet. Genutzt wird sie z. B. zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik. Sie wird mit Jf , Df oder \frac{\partial f}{\partial x} bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Bildung

Bezeichnet man die Koordinaten im Urbildraum \R^n mit x = (x_1, \dots, x_n) und die Komponentenfunktionen von f mit f_1, \dots, f_m, so lautet die Jacobi-Matrix

J_f = \frac{\partial {f}}{\partial {x}} =  \frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)} = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{i=1,\ldots,m;\ j=1,\ldots,n} ,

beziehungsweise ausführlich

J_f =  \begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}.

Um sich leichter merken zu können, in welche Richtung der Index der Koordinaten anwächst und in welche Richtung der Index der Komponentenfunktionen anwächst, kann man die nachfolgende Schreibweise verwenden. Schreibt man 
  f(x) := \left ( \begin{array}{c} f_1(x) \\ \vdots \\ f_m(x) \end{array} \right ),
dann ist die Jacobimatrix in Spaltenschreibweise gegeben durch 
 \left ( \begin{array}{ccc} 
        | & ... & | \\
     \partial x_1 f & ... & \partial x_n f  \\
      | & ... & |
 \end{array} \right ),
wobei natürlich 
\partial x_j f(x) := \left ( \begin{array}{c} \partial x_j f_1(x) \\ \vdots \\ \partial x_j f_m(x) \end{array} \right )
die partiellen Ableitungen der vektorwertigen Funktion f nach der jeweiligen Koordinate darstellt.

Man beachte weiterhin, dass die j-te Zeile der Jacobimatrix den transponierten Gradienten der Komponentenfunktion fj enthält.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion 
 f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2,
die gegeben ist durch 
 f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c} 
             x^2 + y^2 + z \cdot \sin(x) \\
             z^2 + z \cdot \sin(y)
\end{array} \right )

Dann ist


 \partial x f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c} 
             2x + z \cdot \cos(x) \\
              0
           \end{array} \right ), \;\;

 
\partial y f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c} 
             2y \\
              z \cdot \cos(y)
           \end{array} \right ), \;\;


\partial z f(x,y,z) =  \left ( \begin{array}{c} 
             \sin(x) \\
              2z + \sin(y)
           \end{array} \right )

und damit die Jacobi-Matrix

 
Df(x,y,z) = \left ( \begin{array}{ccc}
         2x + z \cdot \cos(x) & 2y  & \sin(x) \\
         0 & z \cdot \cos(y) & 2z + \sin(y)
\end{array} \right )

Anwendungen

Sie kann, wenn man sie für einen Punkt p = (p_1,\dots,p_n) ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von f in der Nähe von p verwendet werden:


f(x_1,\dots,x_n) \approx f(p_1,\dots,p_n) + J_f(p_1,\dots,p_n) 
\begin{pmatrix}x_1 - p_1 \\ \vdots \\ x_n - p_n \end{pmatrix}.

Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).

Für m = 1 entspricht die Jacobi-Matrix dem Gradienten von f. Je nach Definition des Gradienten, der manchmal als Zeilenvektor und manchmal als Spaltenvektor definiert wird, unterscheidet sich jedoch in diesem Fall die Jacobi-Matrix als Zeilenvektor vom Gradienten.

Ein Beispiel für eine Rechnung mit der Jacobi-Matrix ist die Transformation in Polarkoordinaten.

Weiterhin lässt sich die Jacobimatrix zu Berechnung von Extremstellen in der mehrdimensionalen Analysis benutzen. Eine notwendige Bedingung für das Vorhandensein lokaler Extremstellen einer differenzierbaren Funktion auf einer offenen Definitionsmenge D,  f: D \subset \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R, ist durch Df(x) = (gradf)T(x) = 0 gegeben.

Determinante der Jacobi-Matrix

Für den Fall m = n ist f eine n \times n-Abbildung, und die Jacobi-Matrix ist quadratisch. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix berechnen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt und spielt z. B. bei Transformationen von Integralen eine wichtige Rolle.

Siehe auch


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