Nukleare C*-Algebra

Nukleare C*-Algebra

Die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachteten nuklearen C*-Algebren bilden eine große Klasse von C*-Algebren, die wichtige Teilklassen umfasst. Die nuklearen C*-Algebren sind im Zusammenhang mit Eindeutigkeitsfragen bezüglich Tensorprodukten eingeführt worden; daher rührt auch der Name nuklear, der in Anspielung auf die nuklearen Räume aus der Theorie der lokalkonvexen Räume gewählt wurde.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sind A und B zwei C*-Algebren, so kann man auf dem algebraischen Tensorprodukt A\odot B bekanntlich auf mehrere Arten eine C*-Norm definieren, das heißt eine Norm α, so dass

Eine C*-Algebra A heißt nuklear, wenn es für jede C*-Algebra B genau eine solche C*-Norm auf A\odot B gibt.

Da es auf A\odot B stets eine minimale C*-Norm, nämlich die Norm des räumlichen Tensorproduktes, und eine maximale C*-Norm gibt, bedeutet die Nuklearität für eine C*-Algebra A, dass für jede C*-Algebra B die minimale und maximale C*-Norm auf A\odot B zusammenfallen. M. Takesaki sprach in diesem Zusammenhang von C*-Algebren mit der Eigenschaft T[1], die Bezeichnung nukleare C*-Algebra geht auf C. Lance zurück.

Beispiele

  • Kommutative C*-Algebren sind nuklear. Das eindeutig bestimmte Tensorprodukt fällt in diesem Fall mit dem injektiven Tensorprodukt zusammen[2].
  • Allgemeiner sind alle postliminalen C*-Algebren nuklear, wie bereits in der unten erwähnten Arbeit von Takesaki gezeigt wurde.
  • Endlich-dimensionale C*-Algebren sind nuklear, denn diese sind endlich direkte Summen von Matrix-Algebren Mn und es ist M_n \otimes B \cong M_n(B) für jede C*-Algebra B mit der im Artikel über das räumliche Tensorprodukt beschriebenen Norm auf Mn(B).
  • Die reduzierte Gruppen-C*-Algebra C_r^*(G) einer zusammenhängenden oder mittelbaren Gruppe G ist nuklear. Für diskrete Gruppen gilt nach einem Satz von C. Lance auch die Umkehrung: Für eine diskrete Gruppe ist C_r^*(G) genau dann nuklear, wenn G mittelbar ist.[3]
  • C^*(F_2), C_r^*(F_2) und L(\ell^2) sind Beispiele für C*-Algebren, die nicht nuklear sind, wobei F2 die von 2 Elementen erzeugte freie Gruppe und \ell^2 der Folgenraum der quadratsummierbaren Folgen ist.

Eigenschaften

  • Ist umgekehrt 0\rightarrow J \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow 0 eine kurze exakte Sequenz von C*-Algebren mit nuklearen J und B, so ist auch A nuklear.[4]
  • Unter-C*-Algebren nuklearer C*-Algebren sind im Allgemeinen nicht wieder nuklear. Genau dann sind alle Unter-C*-Algebren einer nuklearen C*-Algebra wieder nuklear, wenn die C*-Algebra postliminal ist.[5]

Einzelnachweise

  1. M. Takesaki: On the cross-norm of the direct product of C*-algebras, Tohoku Mathematical Journal, Band 10 (1958), Seiten 111-122
  2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Lemma 11.3.5
  3. C. Lance: On Nuclear C*-Algebras, Journal of Functional Analysis, Band 12 (1973), Seiten 157-176, Theorem 4.2
  4. Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Theorem 6.5.3
  5. B. Blackadar: Nonnuclear subalgebras of C*-algebras, Journal of Operator Theory, Band 14 (1985), Seiten 347-350
  6. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Satz 11.3.12
  7. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8.2
  8. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8
  9. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 8.15.15

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