Absolute Zahl
Verlauf der Absolutbetragsfunktion auf \R

In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen oder komplexen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Dieser sogenannte absolute Betrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative, reelle Zahl. Der Betrag einer Zahl x wird meist mit | x | , seltener mit \operatorname{abs}(x) bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Reelle Betragsfunktion

Den absoluten Betrag einer reellen Zahl erhält man durch Weglassen des Vorzeichens. Auf der Zahlengerade bedeutet der Betrag den Abstand der gegebenen Zahl von null.

Für eine reelle Zahl x gilt:

 |x| =
\begin{cases}
\ \;\,\ \ x &\mathrm{f\ddot ur}\ x \ge 0\\
\ \;\, -x &\mathrm{f\ddot ur}\ x  <  0
\end{cases}

Komplexe Betragsfunktion

Für eine komplexe Zahl z=x+\mathrm{i}\,y definiert man

 |z| = \sqrt{z \cdot \bar z} = \sqrt{(x + \mathrm{i}\,y) \cdot (x - \mathrm{i}\,y)} 
= \sqrt{x^2 + y^2} ,

wobei \bar z die komplex Konjugierte von z bezeichnet. Ist z reell, stimmt diese Definition mit der oberen überein.

Veranschaulicht man die komplexen Zahlen mithilfe der gaußschen Zahlenebene, so entspricht diese Definition nach dem Satz des Pythagoras dem Abstand der Zahl z von null.

Eigenschaften

Beispiele

|+7| = 7 \,
|-8| = -(-8) = 8 \,
|3+4\mathrm{i}| = \sqrt{(3+4\mathrm{i}) \cdot (3-4\mathrm{i})} = \sqrt{3^2 - (4\mathrm{i})^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5

Gleichung mit Absolutbetrag: Gesucht sind alle Zahlen x\in\R, welche die Gleichung |x+3| = 5 \, erfüllen.

Man rechnet wie folgt:

|x+3| = 5 \,
\Leftrightarrow x+3 = 5 \text{ oder } x+3 = -5
\Leftrightarrow x = 5-3 \text{ oder } x = -5-3
\Leftrightarrow x = 2   \text{ oder } x = -8

Die Gleichung besitzt also genau zwei Lösungen für x, nämlich 2 und -8.

Betrag und Metrik

Über den Betrag kann man eine Abstandsfunktion (Metrik) definieren: Der Abstand d(x,y) zweier Zahlen x und y ist der Betrag ihrer Differenz | xy | .

Ist der Betrag nichtarchimedisch (siehe unten), dann ist die erzeugte Metrik eine Ultrametrik.

Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung

Verallgemeinert spricht man von einem Betrag, wenn eine Funktion |·| von einem Körper K in die reellen Zahlen folgende Eigenschaften erfüllt:

  1. |x| \geq 0 für alle x und | x | = 0 genau dann, wenn x = 0.
  2. |x| \cdot |y| = |x \cdot y|für alle x,y
  3. |x + y| \leq |x| + |y| (die Dreiecksungleichung)

Gilt zudem

4.|x + y|\leq\max(|x|,|y|)

so spricht man von einem ultrametrischen oder nichtarchimedischen, andernfalls von einem archimedischen Betrag. Die oben genannte Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen ist archimedisch. Da 3. aus 4. folgt, nennt man 4. auch die verschärfte Dreiecksungleichung. Nichtarchimedische Beträge spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der p-adischen Zahlen.

Hat man einen nichtarchimedischen Betrag |·|, und wählt eine reelle Zahl b > 1, dann hat die Funktion v\colon K\to\R\cup\{\infty\} mit
v(x) = − logb | x | für | x | > 0 und v(0) = \infty folgende Eigenschaften:

  1. v(x) = \infty genau dann, wenn x = 0.
  2. v(x \cdot y)=v\left(x\right)+v\left(y\right) für alle x,y
  3. v(x + y) \geq\min\left(v\left(x\right),v\left(y\right)\right)

Eine Funktion v\colon K\to\R\cup\{\infty\} mit diesen drei Eigenschaften nennt man eine Bewertung auf K.

Umgekehrt kann man einer Bewertung 'v' einen nichtarchimedischen Betrag zuordnen, indem man für eine reelle Zahl b > 1 setzt: | x | = b v(x).

Weitere Verallgemeinerungen

Der Absolutbetrag ist eine spezielle Norm; den Begriff Norm kann man als eine Verallgemeinerung des Absolutbetrags verstehen.

Eine Abschwächung der Axiome für den Betrag führt auf den Begriff des Pseudobetrags.

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • absolute Mehrheit — absolute Mehrheit,   mehr als die Hälfte der gesetzlichen Mitgliederzahl oder der Zahl der Anwesenden eines Gremiums.   Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie v. a. auch in den folgenden Artikeln:   Abstimmung · Mehrheitsgrundsatz ·… …   Universal-Lexikon

  • Absolute Vernunft — Georg Wilhelm Friedrich Hegel, porträtiert von Jakob Schlesinger, 1831 Georg Wilhelm Friedrich Hegel (* 27. August 1770 in Stuttgart; † 14. November 1831 in Berlin) war ein deutscher Philosop …   Deutsch Wikipedia

  • Absolute Helligkeit — Die absolute Helligkeit ist eine Hilfsgröße in der Astronomie, um die tatsächlichen Helligkeiten, also die Leuchtkräfte, von Himmelsobjekten vergleichen zu können. Von der Erde aus sieht man einen Stern mit seiner scheinbaren Helligkeit, da sie… …   Deutsch Wikipedia

  • Absolute Stetigkeit — In der Analysis ist die absolute Stetigkeit einer Funktion eine Verschärfung der Eigenschaft der Stetigkeit. Der Begriff wurde 1905 von Giuseppe Vitali eingeführt und erlaubt eine Charakterisierung von Lebesgue Integralen.[1] In der Maßtheorie… …   Deutsch Wikipedia

  • Absolute — Absolut (von lateinisch absolutus losgelöst ) steht für: Absolut (ARTE), eine Fernsehsendung auf ARTE Absolut Vodka, den schwedischen Vodkahersteller ABSOLUT absoluter Betrag, in der Mathematik eine Zahl, losgelöst von deren Vorzeichen absolute… …   Deutsch Wikipedia

  • Absolute Häufigkeit — Beispiel einer absoluten Häufigkeitsverteilung: Prognose der Altersverteilung für Deutschland im Jahr 2050 Der Begriff absolute Häufigkeit ist gleichbedeutend mit dem umgangssprachlichen Begriff Anzahl. Die absolute Häufigkeit ist ein Maß der… …   Deutsch Wikipedia

  • Absolute Konvergenz — Die absolute Konvergenz ist ein Begriff aus der Analysis und wird im Zusammenhang mit Reihen benutzt. Für die absolut konvergenten Reihen bleiben manche Eigenschaften endlicher Summen gültig, die für die größere Menge der konvergenten Reihen im… …   Deutsch Wikipedia

  • Absolute Zeit — Physikalische Größe Name Zeit Formelzeichen der Größe t Formelzeichen der Dimension T Größen und Einheiten system Einheit Dimension …   Deutsch Wikipedia

  • absolute Armut — durch die Nairobi Rede des damaligen Weltbankpräsidenten R. McNamara (1973) in die entwicklungspolitische Diskussion eingeführte Bezeichnung für die entwürdigenden Lebensbedingungen der Armen in der Dritten Welt. Der Begriff umfasst alle Personen …   Lexikon der Economics

  • Denormalisierte Zahl — Die Norm IEEE 754 (ANSI/IEEE Std 754 1985; IEC 60559:1989 International version) definiert Standarddarstellungen für binäre Gleitkommazahlen in Computern und legt genaue Verfahren für die Durchführung mathematischer Operationen, insbesondere für… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”