Absolutkonvexe Menge

Absolutkonvexe Mengen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der lokalkonvexen Räume, da sie in natürlicher Weise zu Halbnormen führen.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine Teilmenge A eines reellen oder komplexen Vektorraums heißt absolutkonvex, wenn für alle \lambda,\mu \in {\mathbb K} mit |\lambda|+ |\mu| \le 1 und alle x,y\in A stets \lambda x + \mu y \in A gilt. Damit ist A genau dann absolutkonvex, wenn A ausgewogen und konvex ist. (Dabei steht {\mathbb K} für den Körper der reellen oder komplexen Zahlen.)

Beziehung zu Halbnormen

Ist U eine absolutkonvexe Nullumgebung des topologischen Vektorraums E, so definiert p_U(x) := \inf\{t>0; x\in tU\} eine Halbnorm auf E. Es gilt

U^\circ = \{x\in E; p_U(x) < 1\} \subset U \subset \{x\in E; p_U(x) \le 1\} = \overline{U}.

Man nennt pU auch das Minkowski-Funktional zu U.

Leicht zeigt man, dass jeder lokalkonvexe Vektorraum eine Nullumgebungsbasis aus absolutkonvexen Mengen besitzt. Mit Hilfe der Minkowski-Funktionale kann man die Topologie also auch durch Halbnormen beschreiben. Dies klärt den Zusammenhang zwischen den beiden im Artikel über lokalkonvexe Räume gegebenen Definitionen.

Absolutkonvexe Hülle

Da Durchschnitte absolutkonvexer Mengen offenbar wieder absolutkonvex sind, ist jede Menge M eines reellen oder komplexen Vektorraums in einer kleinsten absolutkonvexen Menge enthalten. Diese nennt man die absolutkonvexe Hülle ΓM von M. Es gilt \Gamma M = \{\sum_{j=1}^n\lambda_j x_j; \lambda_j \in {\mathbb K}, \sum_{j=1}^n|\lambda_j| \le 1,x_j \in M, n\in{\mathbb N}\}.

Quelle


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Absolutkonvexe Hülle — Absolutkonvexe Mengen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der lokalkonvexen Räume, da sie in natürlicher Weise zu Halbnormen führen. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beziehung zu Halbnormen 3 Absolutkonvexe Hülle 4 Quelle …   Deutsch Wikipedia

  • Beschränkte Menge — Die Eigenschaft der Beschränktheit wird in verschiedenen Bereichen der Mathematik einer Menge zugeordnet. Die Menge wird dann als (nach unten oder oben) beschränkte Menge bezeichnet. Damit ist zunächst gemeint, dass alle Elemente der Menge… …   Deutsch Wikipedia

  • Konkave Menge — eine konvexe Menge eine nichtkonvexe Menge In der Mathematik heißt eine geometrische Figur oder allgemeiner eine Teilmenge eines …   Deutsch Wikipedia

  • Nichtkonvexe Menge — eine konvexe Menge eine nichtkonvexe Menge In der Mathematik heißt eine geometrische Figur oder allgemeiner eine Teilmenge eines …   Deutsch Wikipedia

  • Konvexe Menge — eine konvexe Menge eine nichtkonvexe Menge In der …   Deutsch Wikipedia

  • Polare Menge — Die polare Menge oder die Polare einer Menge ist ein mathematischer Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Dabei wird einer Menge eines Vektorraums eine Menge des Dualraums zugeordnet und umgekehrt. Inhaltsverzeichnis 1 …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Komura — Unter einem nuklearen Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume. Viele in den Anwendungen wichtige Räume, z. B. Räume differenzierbarer Funktionen, sind nuklear. Während normierte Räume, insbesondere… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Komura-Komura — Unter einem nuklearen Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume. Viele in den Anwendungen wichtige Räume, z. B. Räume differenzierbarer Funktionen, sind nuklear. Während normierte Räume, insbesondere… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Kōmura-Kōmura — Unter einem nuklearen Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume. Viele in den Anwendungen wichtige Räume, z. B. Räume differenzierbarer Funktionen, sind nuklear. Während normierte Räume, insbesondere… …   Deutsch Wikipedia

  • DF-Raum — (DF) Räume sind eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Klasse spezieller lokalkonvexer Räume, die eine wichtige Rolle in der Dualitätstheorie von Frécheträumen spielt. Dualräume von Frécheträumen sind (DF) Räume und… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”