Absolutstetig

In der Mathematik heißt eine auf einem Intervall I definierte reellwertige Funktion f absolut stetig, falls für jede Zahl \varepsilon>0 eine Zahl δ > 0 existiert, welche klein genug ist, so dass für jede (endliche oder unendliche) Folge paarweise disjunkter Intervalle [xk,yk], die in I enthalten sind und der Bedingung

(ykxk) < δ
k

genügen, die folgende Beziehung gilt:

\sum_{k}\left|f(y_k)-f(x_k)\right|&amp;lt;\varepsilon.

Jede absolut stetige Funktion ist gleichmäßig stetig und damit insbesondere stetig. Andererseits ist jede Lipschitz-stetige Funktion auch absolut stetig.

Die Cantor-Lebesgue-Funktion ist ein Beispiel für eine überall stetige, aber nicht absolut stetige Funktion.

Absolut stetige Funktionen sind fast überall differenzierbar und diese Ableitung stimmt mit der schwachen Ableitung überein.

Absolute Stetigkeit von Maßen

Sind μ und ν Maße auf der σ-Algebra \mathcal A, so bezeichnet man μ als absolut stetig (oder kurz: stetig) bezüglich ν, falls für alle A\in\mathcal A gilt:

\nu(A)=0\Rightarrow\mu(A)=0.

Man schreibt kurz \mu\ll\nu und spricht auch alternativ davon, dass ν das Maß μ dominiert.

Ein Maß μ auf der reellen Zahlengerade ist genau dann absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes auf den Borel-Mengen der reellen Zahlen, wenn für jedes endliche Intervall I die Einschränkung von

F(x)=\mu((-\infty,x])

auf I eine absolut stetige reelle Funktion ist.

Anwendungsbereiche

  • Der Satz von Radon-Nikodym besagt, dass, falls das Maß μ absolut stetig bezüglich eines Maßes ν ist und ν σ-endlich ist, dann μ eine Dichtefunktion, manchmal auch Radon-Nikodym-Ableitung genannt, bezüglich ν besitzt, d.h. es gibt eine messbare Funktion f in [0,\infty), die wir mit f=\frac{d\mu}{d\nu} bezeichnen, so dass für jede messbare Menge A gilt:
\mu(A)=\int_A f\,d\nu.

Dieser Zusammenhang ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie von fundamentaler Bedeutung.


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Diskrete Zufallsvariable — Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. Man bezeichnet damit eine Funktion[1], die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments… …   Deutsch Wikipedia

  • IID — Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. Man bezeichnet damit eine Funktion[1], die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments… …   Deutsch Wikipedia

  • Stetige Zufallsvariable — Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. Man bezeichnet damit eine Funktion[1], die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments… …   Deutsch Wikipedia

  • Stochastische Größe — Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. Man bezeichnet damit eine Funktion[1], die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments… …   Deutsch Wikipedia

  • Stochastische Variable — Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. Man bezeichnet damit eine Funktion[1], die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments… …   Deutsch Wikipedia

  • Unabhängig und identisch verteilt — Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. Man bezeichnet damit eine Funktion[1], die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments… …   Deutsch Wikipedia

  • Zufallsgrösse — Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. Man bezeichnet damit eine Funktion[1], die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments… …   Deutsch Wikipedia

  • Zufallsgröße — Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. Man bezeichnet damit eine Funktion[1], die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments… …   Deutsch Wikipedia

  • Zufallsvektor — Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. Man bezeichnet damit eine Funktion[1], die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments… …   Deutsch Wikipedia

  • Dichtefunktion — Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, oft kurz Dichtefunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte oder nur Dichte (abgekürzt WDF oder pdf von engl. probability density function) ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer stetigen… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”