Streng nicht-palindromische Zahl

Streng nicht-palindromische Zahl

Eine streng nicht-palindromische Zahl ist eine natürliche Zahl n, die in keinem Stellenwertsystem ein Zahlenpalindrom ist, dessen Basis b im Bereich 2\le b\le n-2 liegt.

Die obere Grenze n − 2 für die Größe der Basis ist notwendig, um die Folge nichttrivial zu halten, da

  • jede Zahl n (größer 1) zu jeder Basis b > n als eine einstellige (also auch palindromische) Zahl geschrieben wird;
  • jede Zahl n (größer 2) zur Basis n als 10, also nicht-palindromisch geschrieben wird;
  • jede Zahl n (größer 3) zur Basis n − 1 als 11 (palindromisch) geschrieben wird.

Für n\le3 ist die Menge an Basen leer, sodass diese Zahlen trivialerweise ebenfalls streng nicht-palindromisch sind.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

Beispielsweise ist die (Dezimal-)Zahl 6 geschrieben

  • zur Basis zwei: 110,
  • zur Basis drei: 20 und
  • zur Basis vier: 12

Da keine dieser Schreibweisen palindromisch ist, ist 6 streng nicht-palindromisch.

Die Folge der streng nicht-palindromischen Zahlen beginnt mit

0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, … [1]

Eigenschaften

Alle streng nicht-palindromischen Zahlen größer 6 sind Primzahlen. Zu jeder zusammengesetzten Zahl n > 6 kann eine Basis gefunden werden, zu der n palindromisch ist.

Beweis

  1. Wenn n gerade ist, dann wird n zur Basis \tfrac n2-1 als 22 (palindromisch) geschrieben.
  2. Anderenfalls ist n ungerade und lässt sich als n=p\cdot m schreiben, wobei p der kleinste Primfaktor von n ist. Verständlicherweise ist dann p\le m.
  • Ist dann p = m = 3, so ist n = 9, was zur Basis 2 als 1001 (palindromisch) geschrieben wird.
  • Ist dann p = m > 3, so wird n zur Basis p − 1 als 121 (palindromisch) geschrieben.
Anderenfalls ist p < m − 1. Der Fall p = m − 1 kann nicht eintreten, da sowohl p als auch m ungerade sind.
In diesem Fall wird n als die zweistellige Zahl pp (palindromisch) zur Basis m − 1 geschrieben.

In jedem dieser Fälle liegt die Basis b im Bereich 2\le b\le n-2.

Einzelnachweise

  1. Folge A016038 in OEIS

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Elf — Die Elf (11) ist die natürliche Zahl zwischen Zehn und Zwölf. Sie ist ungerade und eine Primzahl. Inhaltsverzeichnis 1 Sprachliches 2 Mathematik 3 Natur und Naturwissenschaften …   Deutsch Wikipedia

  • Primzahlpalindrom — Ein Primzahlpalindrom ist eine Primzahl, deren Ziffern von vorn und von hinten gelesen die gleiche Zahl ergeben, analog zum Palindrom, das von vorn und von hinten gelesen das gleiche Wort ergibt. Das Primzahlpalindrom ist also ein spezielles… …   Deutsch Wikipedia

  • Primzahl — Die Zahl 12 ist keine Primzahl. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als eins und ausschließlich durch sich selbst und durch eins teilbar ist. Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Zahlen als Teiler …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”