Adams-Verfahren

Das Adams-Verfahren (auch: Divisorverfahren mit Aufrundung) ist eine Methode der proportionalen Repräsentation (Sitzzuteilungsverfahren), wie sie z. B. bei Wahlen mit dem Verteilungsprinzip Proporz (siehe Verhältniswahl) benötigt wird, um Wählerstimmen in Abgeordnetenmandate umzurechnen.

Der US-amerikanische Politiker John Quincy Adams hat das nach ihm benannte Verfahren im Jahre 1832 als Methode für eine bevölkerungsproportionale Verteilung der Abgeordnetenmandate im Repräsentantenhaus auf die Bundesstaaten vorgeschlagen. Es wurde zu diesem Zweck jedoch nie eingesetzt. In Frankreich dient das Verfahren zur Verteilung der 577 Abgeordnetenmandate in der Nationalversammlung auf die 100 Départements, jedoch mit der Maßgabe, dass auf jedes Département mindestens 2 Abgeordnetenmandate entfallen.

Beschreibung

Die Berechnung einer Sitzverteilung nach dem Adams-Verfahren wird im Folgenden am Beispiel einer Verhältniswahl erläutert.

Zu vergebende Sitze: 50

Abgegebene gültige Stimmen: 1000

Partei A: 450 Stimmen, Partei B: 350 Stimmen, Partei C: 199 Stimmen, Partei D: 1 Stimme

Die Stimmenzahlen der Parteien werden durch einen geeigneten Divisor geteilt. Der Divisor ist nicht notwendigerweise ganzzahlig. Er muss empirisch (durch Probieren) ermittelt werden. Als Richtgröße für den Divisor kann der Quotient aus abgegebenen Stimmen und zu vergebenden Sitzen (S/M) genommen werden, im Beispiel also 20. Die sich aus der Division ergebenden Quotienten werden jeweils auf die nächste ganze Zahl aufgerundet. Wenn die Summe dieser ganzen Zahlen 50 ergibt, ist die Berechnung der Sitzzuteilung korrekt. Jede Partei erhält Sitze in der Höhe der für sie berechneten ganzen Zahl. Ergibt die Summe dieser ganzen Zahlen mehr oder weniger als 50, ist der Divisor ungeeignet und muss vergrößert bzw. verkleinert werden - so lange, bis genau 50 Sitze verteilt werden. Wegen der Aufrundungsregel ist der Divisor S/M i. d. R. zu klein, weil er zur Vergabe von mehr als M Sitzen führt, aber niemals zu groß!

Teilung der Stimmenzahlen der Parteien durch den Divisor 20:

Partei A: 22,5; Partei B: 17,5; Partei C: 9,95; Partei D: 0,05

Die erhaltenen nicht-ganzen Zahlen werden jeweils auf die nächste ganze Zahl aufgerundet:

Partei A: 23; Partei B: 18; Partei C: 10; Partei D: 1

Die Summe aller Mandate beträgt 52. Der Divisor 20 ist also zu klein. Versuche einen größeren Divisor.

Teilung der Stimmenzahlen der Parteien durch den Divisor 21:

Partei A: 21,43; Partei B: 16,67; Partei C: 9,48; Partei D: 0,05

Nach Aufrundung ergibt dies die folgende Sitzzuteilung:

Partei A: 22 Sitze; Partei B: 17 Sitze; Partei C: 10 Sitze; Partei D: 1 Sitz

Die Summe aller Mandate beträgt nun 50. Der Divisor 21 ist somit ein geeigneter Divisor.

Man kann zeigen, dass geeignete Divisoren für dieses Beispiel alle Zahlen zwischen 
20.59\approx\frac{350}{17}\le Divisor<\frac{450}{21}\approx 21.43 sind. Alle Divisoren in diesem Bereich resultieren in derselben Sitzverteilung.

Merke: Die Aufrundungsregel hat zur Folge, dass jede Partei bereits bei nur einer einzigen Stimme einen Sitz erhält, sofern nicht die Gesamtsitzzahl kleiner ist als die Anzahl der Parteien mit mindestens einer Stimme.

Höchstzahlverfahren

Alternativ kann die Sitzzuteilung nach Adams wie bei jedem anderen Divisorverfahren auch auf Basis des entsprechenden Höchstzahlverfahrens berechnet werden. Dabei werden die Stimmenzahlen der Parteien durch eine Divisorreihe geteilt. Die sich hieraus ergebenden Quotienten bezeichnet man als Höchstzahlen. Die Sitze werden in der Reihenfolge der größten Höchstzahlen an die Parteien verteilt. Dieser Algorithmus ist aufwendiger als der oben beschriebene. Der Vorteil besteht darin, dass man für den Fall einer Vergrößerung oder Verkleinerung des zu wählenden Gremiums um z. B. 1 Sitz auf den ersten Blick erkennen kann, welche Partei einen zusätzlichen Sitz erhalten würde bzw. auf einen Sitz verzichten müsste.

Die Divisorreihe für das Höchstzahlverfahren nach Adams lautet:

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 usw.

Die Divisoren ergeben sich aus der Rundungsregel des Sitzzuteilungsverfahrens bzw. der durch sie festgelegten Rundungsgrenzen zwischen jeweils 2 aufeinander folgenden Sitzansprüchen. Allgemein gilt: Liegt eine zu rundende Zahl oberhalb der Rundungsgrenze, ist aufzurunden, andernfalls abzurunden. Wegen der Aufrundungsregel liegt die Rundungsgrenze für jeden Sitzanspruch bei einer ganzen Zahl. Aus dem Verhältniswahlbeispiel wird deutlich, dass die Rundungsgrenze für den ersten Sitz bei 0 liegt, für den zweiten bei 1, für den dritten bei 2 usw. Daraus folgt oben stehende ganzzahlige Divisorreihe. Die Ganzzahligkeit der Divisoren folgt aus der Ganzzahligkeit der Rundungsgrenzen. Der Divisor für den n-ten Sitz ist gleichzeitig die Rundungsgrenze zwischen dem n-ten und (n+1)-ten Sitz nach dem im Verhältniswahlbeispiel dargestellten Algorithmus.

Division durch null: Zwar ist eine Division durch die Zahl Null mathematisch nicht möglich, dennoch kann der Quotient als eine Zahl der Größe "unendlich" betrachtet werden. Die erste Höchstzahl einer jeden Partei mit mindestens einer Stimme liegt somit bei "unendlich", so dass keine Partei - sei sie noch so groß - einen zweiten Sitz zugeteilt bekommt, bevor nicht alle anderen mit mindestens einer Stimme ihren ersten Sitz erhalten haben.

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