Adjunktion (Einselement)

Die Adjunktion eines Einselementes wird in der Mathematik angewendet, wenn man einen Ring ohne Einselement in einen Ring mit Einselement einbetten will, zum Beispiel um einen Satz anwenden zu können, der nur für Ringe mit Einselement gilt.

Inhaltsverzeichnis

Ringe

Sei A ein beliebiger Ring. Dann definiere man auf der direkten Summe A\oplus \Z die Operationen

 (a, \lambda) + (b, \mu) \,=\, (a+b, \lambda + \mu)

 (a, \lambda) \cdot (b, \mu) \,=\, (ab + \lambda b + \mu a, \lambda  \mu) ,

wobei a,b\in A; \, \lambda,\mu \in \Z. Man beachte, dass man Produkte wie λb mittels der naheliegenden \Z-Modul-Struktur bilden kann. Einfache Rechnungen zeigen, dass A_1 := A\oplus \Z mit diesen Operationen ein Ring mit Einselement (0,1) ist. Identifiziert man A mit A \oplus \{0\} \subset A \oplus \Z und definiert man e: = (0,1), so kann man ein Element (a,λ) als a + λe schreiben und A als Unterring von A1 auffassen. Obige Definitionen schreiben sich dann in der folgenden erwarteten Form:

 a+\lambda e \, + \, b + \mu e \, = \, a+b + (\lambda + \mu)e

 ( a+\lambda e) \cdot (b + \mu e) \, = \, ab + \lambda b + \mu a+ \lambda\mu e

Damit kann jeder Ring in einen Ring mit Einselement eingebettet werden. Wenn A bereits ein Einselement hatte, so erhält man in A1 ein neues Einselement, das ursprüngliche Einselement von A ist kein Einselement mehr in A1.

Bei obiger Konstruktion ist A ist ein zweiseitiges Ideal in A1 und es gilt A_1/A \cong \Z. Da \Z nullteilerfrei ist, ist A sogar ein Primideal in A1.

Algebren

Wenn A nicht nur ein Ring sondern sogar eine Algebra über einem Körper K ist, so kann man obige Konstruktion so anpassen, dass der entstehende Ring wieder eine K-Algebra ist. Dazu hat man lediglich \Z durch K zu ersetzen, das heißt man bildet dann A_1 := A\oplus K. Die K-Algebren-Struktur ist durch die Formel

 \mu \cdot (a+\lambda e) := \mu a + \mu\lambda e

gegeben. Wenn im Kontext von Algebren von der Adjunktion eines Einselementes die Rede ist, so ist in der Regel diese Konstruktion gemeint. Wieder ist A ist ein zweiseitiges Ideal in A1 und es gilt A_1/A \cong K. Da K ein Körper ist, ist A sogar ein maximales Ideal in A1.

Normierte Algebren

Ist (A,\|\cdot\|) eine normierte Algebra oder sogar eine Banachalgebra über \mathbb K, wobei \mathbb K für \mathbb R oder \mathbb C stehe, so kann man auch A1 zu einer normierten \mathbb K-Algebra machen, in dem man

 \| a + \lambda e\| := \|a\| + |\lambda|

setzt. Das macht A1 sicher zu einem normierten Raum, und die multiplikative Dreiecksungleichung von (A,\|\cdot\|) überträgt sich auf (A_1,\|\cdot\|), denn

 \|( a+\lambda e) \cdot (b + \mu e)\| =  \|ab + \lambda b + \mu a+ \lambda\mu e\|  :=  \|ab + \lambda b + \mu a\| + |\lambda \mu| \le \|a\| \|b\| + |\lambda|\|b\| + |\mu|\|a\| + |\lambda||\mu| =  (\|a\|+|\lambda|)(\|b\|+|\mu|) =  \|a+\lambda e\| \cdot \|b+\mu e\|.

Ist A eine Banachalgebra, das heißt als normierter Raum vollständig, so ist auch A1 eine Banachalgebra.

Ist A eine  \mathbb C -Banachalgebra mit Involution a\mapsto a^*, so kann man die Involution durch die Formel

 (a+\lambda e)^* := a^*+\overline{\lambda} e

auf A1 erweitern. Ist die Involution auf A isometrisch, so gilt dasselbe auch für A1.

C*-Algebren

Ist A eine C*-Algebra ohne Einselement, so liefert obige Konstruktion keine C*-Algebra A1. Man kann aber eine andere Norm auf A1 wählen, die A1 ebenfalls zu einer C*-Algebra macht. Dazu setzt man

\|a+\lambda e\| := \sup \{\|ab + \lambda b\|; \, b\in A, \|b\| \le 1 \}.

Dies ist gerade die Operatornorm der Linksmultiplikation L_{a+\lambda e}:A\rightarrow A, b\mapsto (a+\lambda e)b = ab + \lambda b.

Quellen

  • J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
  • Louis H. Rowen: Ring Theory I, Academic Press Inc. 1988

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