Adjunktion (Kategorientheorie)

Adjungiert heißen zwei Funktoren F: C → D, G: D → C zwischen zwei Kategorien C und D, die gewissermaßen ein Ersatz für eine fehlende Äquivalenz von Kategorien sind.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Zwei Funktoren F:C\to D,G:D\to C zwischen zwei Kategorien C und D bilden ein Paar adjungierter Funktoren, wenn die Funktoren

(X,Y)\mapsto\operatorname{Mor}_D(X,FY)

und

(X,Y)\mapsto\operatorname{Mor}_C(GX,Y)

von D^\operatorname{op}\times C nach Set natürlich äquivalent sind. (Die natürliche Äquivalenz ist Bestandteil der Struktur „adjungiertes Funktorpaar“.)

F heißt rechtsadjungiert zu G, G heißt linksadjungiert zu F.

Einheit und Koeinheit der Adjunktion

Ist t die natürliche Äquivalenz \operatorname{Mor}_D(\cdot_1,F(\cdot_2))\to \operatorname{Mor}_C(G(\cdot_1),\cdot_2), so heißen die natürlichen Transformationen

\eta:\operatorname{id}_D\to FG
X\mapsto t_{(X,GX)}^{-1}(\operatorname{id}_{GX})

und

\phi:GF\to\operatorname{id}_C
Y\mapsto t_{(FY,Y)}(\operatorname{id}_{FY})

Einheit bzw. Koeinheit der Adjunktion.

Einheit und Koeinheit haben die Eigenschaft, dass die beiden induzierten Transformationen

FFGFF

und

GGFGG

die Identität ergeben. Umgekehrt kann man zeigen, dass zwei derartige natürliche Transformationen eine Adjunktion bestimmen.

Eigenschaften

  • Sind F und G quasi-invers zueinander, so ist F rechts- und linksadjungiert zu G.
  • Rechtsadjungierte Funktoren erhalten Limites (sind also linksexakt), linksadjungierte Funktoren erhalten Kolimites (sie sind rechtsexakt).

Beispiele


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