Adjunktion einer Derivation

Die semidirekte Summe ist eine mathematische Konstruktion aus der Theorie der Lie-Algebren.

Konstruktion

Es seien {\mathfrak a} und \mathfrak b Lie-Algebren, \pi: {\mathfrak a}\rightarrow {\rm End}({\mathfrak b}) sei eine Darstellung, das heißt:

  • π ist linear, und für alle a_1,a_2\in {\mathfrak a} gilt \pi([a_1,a_2]) \,=\, \pi(a_1)\pi(a_2) - \pi(a_2)\pi(a_1).
  • π(a) ist für jedes a\in {\mathfrak a} eine Derivation auf {\mathfrak b}.

Dann gibt es auf der direkten Summe {\mathfrak a}\oplus {\mathfrak b} der Vektorräume genau ein Produkt [\cdot,\cdot], so dass Folgendes gilt:

  • {\mathfrak a}\oplus {\mathfrak b} ist mit [\cdot,\cdot] eine Lie-Algebra.
  • Die Einschränkung Produktes auf {\mathfrak a} und {\mathfrak b} stimmt mit den dort gegebenen Produkten überein.
  • Für alle a\in {\mathfrak a} und b\in {\mathfrak b} gilt [a,b] \,=\, \pi(a)b.

Dabei werden {\mathfrak a} und {\mathfrak b} als Unterräume der direkten Summe aufgefasst.

Das Produkt auf {\mathfrak a}\oplus {\mathfrak b} lautet

[(a_1,b_1)\, ,\,(a_2,b_2)] := ([a_1,a_2]\, ,\, [b_1,b_2] + \pi(a_1)b_2-\pi(a_2)b_1) ,\quad a_1,a_2\in  {\mathfrak a},\, b_1,b_2\in  {\mathfrak b}.

Man rechnet nach, dass durch diese Definition eine Lie-Algebra gegeben ist. Diese wird mit {\mathfrak a}\ltimes_{\pi} {\mathfrak b} bezeichnet und heißt die semidirekte Summe oder auch das semidirekte Produkt aus {\mathfrak a} und \mathfrak b. Wenn es bezüglich der Darstellung π keine Missverständnisse geben kann, so lässt man sie weg und schreibt einfach {\mathfrak a}\ltimes {\mathfrak b}.

Bemerkungen

  • In obiger Konstruktion ist {\mathfrak a} eine Lie-Unteralgebra der semidirekten Summe und {\mathfrak b} sogar ein Ideal, das heißt [{\mathfrak a}\ltimes {\mathfrak b},{\mathfrak b}] \subset {\mathfrak b}.
  • Ist π = 0, so liegt die direkte Summe der Lie-Algebren vor.
  • Seien {\mathfrak g} eine Lie-Algebra über dem Körper K und d eine Derivation auf {\mathfrak g}. Dann ist Kd \subset {\rm End}({\mathfrak g}) eine Darstellung, und man kann  Kd \ltimes {\mathfrak g} bilden. Dies nennt man auch die Adjunktion der Derivation d.

Quellen

  • Anthony W. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction. Birkhäuser, 2002, ISBN 0817642595.

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