(Ko-)Kettenkomplex

Ein (Ko-)Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von Vektorräumen oder abelschen Gruppen oder allgemein Objekten in abelschen Kategorien, die durch Abbildungen kettenartig verknüpft sind.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Kettenkomplex

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

\,C_n , \,n \isin \mathbb{Z}

von Vektorräumen (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

d_n: C_n \rarr C_{n-1}

von linearen Abbildungen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

\,d_n d_{n+1} = 0

für alle n gilt. Elemente von \,C_n heißen n-Ketten. Elemente von

Z_n(C,d):=\ker d_n\subseteq C_n bzw. B_n(C,d):=\mathop{\mathrm{im}} d_{n+1}\subseteq C_n

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung \,d_n d_{n+1}=0 ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

\,H_n(C,d) := Z_n(C,d)/B_n(C,d)

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von \,( C, d), ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Kokettenkomplex

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

C_n,\, n \isin \mathbb{Z}

von Vektorräumen (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

\,d_n : C_n \rarr C_{n+1}

von linearen Abbildungen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

\,d_n d_{n-1} = 0

für alle n gilt. Elemente von \,C^n heißen n-Koketten. Elemente von

\,Z^n:=\ker d^n\subseteq C^n bzw. B^n:=\mathop{\mathrm{im}} d^{n-1}\subseteq C^n

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung \,d_n d_{n-1} = 0 ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

\,H^n(C,d) := Z^n(C,d)/B^n(C,d)

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von \,(C, d), ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

Eigenschaften

  • Ein Kettenkomplex (C_\bullet,d_\bullet) ist genau dann exakt an der Stelle i, wenn H_i(C_\bullet,d_\bullet)=0 ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.

Kettenhomomorphismus

Eine Funktion

 f : (A_\bullet, d_{A,\bullet}) \to (B_\bullet, d_{B,\bullet})

heißt (Ko)-Kettenhomomorphismus, falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen f_n : A_n \rightarrow B_n existiert, welche mit dem Randoperator d vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:

d_{B,n} \circ f_n = f_{n-1} \circ d_{A,n}.

Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend

d_{B,n} \circ f_{n} = f_{n+1} \circ d_{A,n}.

Diese Bedingung stellt sicher, dass f Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Euler-Charakteristik

Es sei (C,d) ein Kokettenkomplex aus Vektorräumen über einem Körper K. Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

\chi(C,d)=\sum_i(-1)^i\dim_K\mathrm H^i(C,d).

Sind auch die einzelnen Komponenten Ci endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch

\chi(C,d)=\sum_i(-1)^i\dim_K C^i.

Im Spezialfall eines Komplexes C^0\to C^1 mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der Rangsatz.

Beispiele

(C,d)=(\ldots\to0\to0\to A\to B\to0\to0\to\ldots)
Legt man die Indizes so fest, dass sich A in Grad 0 und B in Grad 1 befindet, so ist
H^0(C,d)=\ker f und H^1(C,d)=\mathrm{coker}\,f.
Die Euler-Charakteristik
\dim\ker f-\dim\mathrm{coker}\,f
von (C,d) wird in der Theorie der Fredholm-Operatoren der Fredholm-Index von f genannt.

Literatur

  • P. J. Hilton & U. Stammbach - A Course in Homological Algebra, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90033-0

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