(LB)-Raum

(LF)-Räume sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von Vektorräumen. Abstrahiert man die Konstruktion gewisser Räume aus der Distributionstheorie, so wird man zwanglos auf den Begriff des (LF)-Raums geführt. Dabei handelt es sich um die Vereinigung einer aufsteigenden Folge von Fréchet-Räumen, was man auch als induktiven Limes von Fréchet-Räumen bezeichnet, woher der Name (LF)-Raum rührt.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ein (LF)-Raum ist ein lokalkonvexer Raum E, für den es eine Folge (En)n von Fréchet-Räumen gibt, so das folgendes gilt:

  1. E_n \subset E_{n+1} für alle n\in{\mathbb N}
  2. Für jedes n\in{\mathbb N} trägt En die durch En + 1 gegebene Teilraumtopologie.
  3. E ist die Vereinigung aller En.
  4. E trägt die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen E_n\subset E stetig macht.

In dieser Situation nennt man (En)n eine darstellende Folge von Fréchet-Räumen für E. Kann man sogar eine darstellende Folge aus Banachräumen finden, so nennt man den Raum einen (LB)-Raum.

Beispiele

Jeder Fréchet-Raum E ist ein (LF)-Raum, als darstellende Folge kann man die konstante Folge En = E wählen.

Sei c00 der Folgenraum aller endlichen Folgen. Identifiziert man {\mathbb K}^n mit dem Raum aller Folgen, die ab der (n + 1)-ten Stelle nur noch Nullen haben, so ist ({\mathbb K}^n)_n eine darstellende Folge für den (LF)-Raum c00, der sogar ein (LB)-Raum ist. Die Topologie auf c00 ist die feinste lokalkonvexe Topologie, d. h. die durch alle Halbnormen definierte Topologie.

Die folgende Konstruktion stammt aus der Distributionstheorie. Ist K\subset {\mathbb R}^m kompakt, so sei C^{\infty}(K) der Raum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit Träger in K. Ist \Omega\subset{\mathbb R}^m offen, so nennt den Raum {\mathcal D}(\Omega) := \bigcup\{C^{\infty}(K);\, K\subset \Omega\,\, \text{kompakt}\} den Raum der Testfunktionen auf Ω. {\mathcal D}(\Omega) trage dabei die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen C^{\infty}(K)\subset{\mathcal D}(\Omega) stetig macht. Dann ist {\mathcal D}(\Omega) ein (LF)-Raum. Als darstellende Folge von Fréchet-Räumen kann man jede Folge (C^{\infty}(K_n))_n nehmen, wobei (Kn)n eine Folge von kompakten Teilmengen in Ω ist, so dass jedes Kn im Inneren von Kn + 1 liegt und Ω die Vereinigung dieser Kn ist. Die Topologie auf {\mathcal D}(\Omega) ist unabhängig von der Wahl dieser Folge kompakter Mengen.

Eigenschaften

Beschränkte Mengen

Für beschränkte Mengen in einem (LF)-Raum mit darstellender Folge (En)n gilt folgender Satz:

  • Eine Menge B\subset E ist genau dann beschränkt, wenn es ein n\in{\mathbb N} gibt, so dass B \subset E_n und B in En beschränkt ist.

Stetigkeit

Die Stetigkeit von linearer Operatoren von einem (LF)-Raum E mit darstellender Folge (En)n in einen anderen lokalkonvexen Raum F lässt sich wie folgt charakterisieren:

  • Ein linearer Operator T:E\rightarrow F ist genau dann stetig, wenn alle Einschränkungen T|_{E_n}:E_n\rightarrow F stetig sind.

Vollständigkeit

Nach einem auf Gottfried Köthe zurückgehenden Satz sind alle (LF)-Räume vollständig.

Beziehungen zu anderen Räumen

(LF)-Räume sind tonneliert, ultrabornologisch und haben ein Gewebe. Damit verallgemeinern sich die drei klassischen aus der Theorie der Banachräume bekannten Sätze auf (LF)-Räume:

Satz von Banach-Steinhaus: Ist (T_\alpha)_{\alpha\in I} eine Familie stetiger linearer Operatoren E\rightarrow F zwischen lokalkonvexen Vektorräumen, wobei E (LF)-Raum sei, und ist \{T_\alpha(x); \alpha\in I\} für jedes x\in E beschränkt, so ist (T_\alpha)_{\alpha\in I} gleichstetig, d. h. zu jeder Nullumgebung V\subset F gibt es eine Nullumgebung U\subset E, so dass T_\alpha(U)\subset V für alle \alpha\in I.

Satz über die offene Abbildung: Eine lineare, stetige und surjektive Abbildung T:E\rightarrow F zwischen (LF)-Räumen ist offen.

Satz vom abgeschlossenen Graphen: Eine lineare Abbildung T:E\rightarrow F zwischen (LF)-Räumen mit abgeschlossenem Graphen ist stetig.

Anwendung

In der Distributionstheorie definiert man eine Distribution auf einer offenen Menge \Omega\subset{\mathbb R}^m als lineare Abbildung T:{\mathcal D}(\Omega)\rightarrow {\mathbb R}, so dass folgende Stetigkeitsbedingung gilt: Ist K\subset \Omega kompakt und ist (fn)n eine Folge in {\mathcal D}(\Omega), so dass jedes fn Träger in K hat und so dass f_n\to 0 gleichmäßig in allen Ableitungen, so ist T(f_n)\to 0.

Bei dieser Definition ist zunächst nicht klar, ob es sich bei der Stetigkeitsbedingung überhaupt um Stetigkeit bzgl. einer Topologie handelt. Es genügt in der Tat Folgenstetigkeit zu betrachten, denn {\mathcal D}(\Omega) ist als (LF)-Raum bornologisch. Dann bedeutet die angegebene Bedingung nichts anderes, als dass alle Einschränkungen von T auf C^{\infty}(K), K\subset \Omega kompakt, stetig sind. Nach der oben genannten Eigenschaft zur Stetigkeit linearer Operatoren auf (LF)-Räumen folgt tatsächlich die Stetigkeit bzgl. der (LF)-Raum-Topologie auf {\mathcal D}(\Omega).

Mit den hier vorgestellten Begriffsbildungen kann man eine Distribution als stetiges lineares Funktional auf dem (LF)-Raum {\mathcal D}(\Omega) definieren.

Quellen

  • K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
  • F. Treves: Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Dover 2006, ISBN 0-486-45352-9

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Lb — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. {{{image}}}   Sigles d une seule lettre > Sigles de deux lettres   Sigles de trois lettres …   Wikipédia en Français

  • LB — or lb may refer to: *.lb, the Internet country code top level domain (ccTLD) for Lebanon *Pound (mass) (lb) *Pound force (lb.) *Left back, a defensive position in football (soccer) *Leg Bye, a form of scoring in cricket. *Liberty BASIC, a… …   Wikipedia

  • LB — может означать: lb  обозначение фунта (единица измерения массы) , двоичный логарифм. .lb  национальный домен верхнего уровня для Ливана LB  сокращение названия музыкальной группы Limp Bizkit …   Википедия

  • Lb — steht für: Bezirk Leibnitz, österreichisches Kraftfahrzeugkennzeichen Landesbank, staatliches Finanzinstitut in Deutschland Landesbischof, geistlicher Leiter einiger evangelischer Landeskirchen in Deutschland Landkreis Ludwigsburg, deutsches… …   Deutsch Wikipedia

  • lb. — lb. lb. lbs. PLURALFORM or lb. PLURALFORM written abbreviation for pound, a unit of weight equal to 0.454 kilograms: • Coffee prices have fallen by around 25% per lb …   Financial and business terms

  • LB — steht für: Bezirk Leibnitz, österreichisches Kraftfahrzeugkennzeichen Landesbank, staatliches Finanzinstitut in Deutschland Landesbischof, geistlicher Leiter einiger evangelischer Landeskirchen in Deutschland Landkreis Ludwigsburg, deutsches… …   Deutsch Wikipedia

  • LB — abbrev. 1. 〚L Lit(t)erarum Baccalaureus〛 Bachelor of Letters; Bachelor of Literature: also L.B. 2. Football linebacker: sometimes written lb * * * LB abbr. linebacker. * * * …   Universalium

  • lb — BrE lb. AmE plural lb or lbs [Date: 1300 1400; : Latin; Origin: libra pound ] the written abbreviation of pound or pounds in weight …   Dictionary of contemporary English

  • .lb — es el Dominio de Nivel Superior geográfico (ccTLD) para Líbano. Enlaces externos IANA .lb Categoría: Dominios de Internet por país …   Wikipedia Español

  • lb. — lb. (plural lbs. or lb.) abbreviation pound …   Usage of the words and phrases in modern English

  • lb — is a written abbreviation for pound, when it refers to weight. The baby was born three months early at 3 lb 5oz. Syn: pound …   English dictionary

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”