(LF)-Raum

(LF)-Räume sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von Vektorräumen. Abstrahiert man die Konstruktion gewisser Räume aus der Distributionstheorie, so wird man zwanglos auf den Begriff des (LF)-Raums geführt. Dabei handelt es sich um die Vereinigung einer aufsteigenden Folge von Fréchet-Räumen, was man auch als induktiven Limes von Fréchet-Räumen bezeichnet, woher der Name (LF)-Raum rührt.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ein (LF)-Raum ist ein lokalkonvexer Raum E, für den es eine Folge (En)n von Fréchet-Räumen gibt, so das folgendes gilt:

  1. E_n \subset E_{n+1} für alle n\in{\mathbb N}
  2. Für jedes n\in{\mathbb N} trägt En die durch En + 1 gegebene Teilraumtopologie.
  3. E ist die Vereinigung aller En.
  4. E trägt die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen E_n\subset E stetig macht.

In dieser Situation nennt man (En)n eine darstellende Folge von Fréchet-Räumen für E. Kann man sogar eine darstellende Folge aus Banachräumen finden, so nennt man den Raum einen (LB)-Raum.

Beispiele

Jeder Fréchet-Raum E ist ein (LF)-Raum, als darstellende Folge kann man die konstante Folge En = E wählen.

Sei c00 der Folgenraum aller endlichen Folgen. Identifiziert man {\mathbb K}^n mit dem Raum aller Folgen, die ab der (n + 1)-ten Stelle nur noch Nullen haben, so ist ({\mathbb K}^n)_n eine darstellende Folge für den (LF)-Raum c00, der sogar ein (LB)-Raum ist. Die Topologie auf c00 ist die feinste lokalkonvexe Topologie, d. h. die durch alle Halbnormen definierte Topologie.

Die folgende Konstruktion stammt aus der Distributionstheorie. Ist K\subset {\mathbb R}^m kompakt, so sei C^{\infty}(K) der Raum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit Träger in K. Ist \Omega\subset{\mathbb R}^m offen, so nennt den Raum {\mathcal D}(\Omega) := \bigcup\{C^{\infty}(K);\, K\subset \Omega\,\, \text{kompakt}\} den Raum der Testfunktionen auf Ω. {\mathcal D}(\Omega) trage dabei die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen C^{\infty}(K)\subset{\mathcal D}(\Omega) stetig macht. Dann ist {\mathcal D}(\Omega) ein (LF)-Raum. Als darstellende Folge von Fréchet-Räumen kann man jede Folge (C^{\infty}(K_n))_n nehmen, wobei (Kn)n eine Folge von kompakten Teilmengen in Ω ist, so dass jedes Kn im Inneren von Kn + 1 liegt und Ω die Vereinigung dieser Kn ist. Die Topologie auf {\mathcal D}(\Omega) ist unabhängig von der Wahl dieser Folge kompakter Mengen.

Eigenschaften

Beschränkte Mengen

Für beschränkte Mengen in einem (LF)-Raum mit darstellender Folge (En)n gilt folgender Satz:

  • Eine Menge B\subset E ist genau dann beschränkt, wenn es ein n\in{\mathbb N} gibt, so dass B \subset E_n und B in En beschränkt ist.

Stetigkeit

Die Stetigkeit von linearer Operatoren von einem (LF)-Raum E mit darstellender Folge (En)n in einen anderen lokalkonvexen Raum F lässt sich wie folgt charakterisieren:

  • Ein linearer Operator T:E\rightarrow F ist genau dann stetig, wenn alle Einschränkungen T|_{E_n}:E_n\rightarrow F stetig sind.

Vollständigkeit

Nach einem auf Gottfried Köthe zurückgehenden Satz sind alle (LF)-Räume vollständig.

Beziehungen zu anderen Räumen

(LF)-Räume sind tonneliert, ultrabornologisch und haben ein Gewebe. Damit verallgemeinern sich die drei klassischen aus der Theorie der Banachräume bekannten Sätze auf (LF)-Räume:

Satz von Banach-Steinhaus: Ist (T_\alpha)_{\alpha\in I} eine Familie stetiger linearer Operatoren E\rightarrow F zwischen lokalkonvexen Vektorräumen, wobei E (LF)-Raum sei, und ist \{T_\alpha(x); \alpha\in I\} für jedes x\in E beschränkt, so ist (T_\alpha)_{\alpha\in I} gleichstetig, d. h. zu jeder Nullumgebung V\subset F gibt es eine Nullumgebung U\subset E, so dass T_\alpha(U)\subset V für alle \alpha\in I.

Satz über die offene Abbildung: Eine lineare, stetige und surjektive Abbildung T:E\rightarrow F zwischen (LF)-Räumen ist offen.

Satz vom abgeschlossenen Graphen: Eine lineare Abbildung T:E\rightarrow F zwischen (LF)-Räumen mit abgeschlossenem Graphen ist stetig.

Anwendung

In der Distributionstheorie definiert man eine Distribution auf einer offenen Menge \Omega\subset{\mathbb R}^m als lineare Abbildung T:{\mathcal D}(\Omega)\rightarrow {\mathbb R}, so dass folgende Stetigkeitsbedingung gilt: Ist K\subset \Omega kompakt und ist (fn)n eine Folge in {\mathcal D}(\Omega), so dass jedes fn Träger in K hat und so dass f_n\to 0 gleichmäßig in allen Ableitungen, so ist T(f_n)\to 0.

Bei dieser Definition ist zunächst nicht klar, ob es sich bei der Stetigkeitsbedingung überhaupt um Stetigkeit bzgl. einer Topologie handelt. Es genügt in der Tat Folgenstetigkeit zu betrachten, denn {\mathcal D}(\Omega) ist als (LF)-Raum bornologisch. Dann bedeutet die angegebene Bedingung nichts anderes, als dass alle Einschränkungen von T auf C^{\infty}(K), K\subset \Omega kompakt, stetig sind. Nach der oben genannten Eigenschaft zur Stetigkeit linearer Operatoren auf (LF)-Räumen folgt tatsächlich die Stetigkeit bzgl. der (LF)-Raum-Topologie auf {\mathcal D}(\Omega).

Mit den hier vorgestellten Begriffsbildungen kann man eine Distribution als stetiges lineares Funktional auf dem (LF)-Raum {\mathcal D}(\Omega) definieren.

Quellen

  • K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
  • F. Treves: Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Dover 2006, ISBN 0-486-45352-9

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