Diagonalmatrix

Diagonalmatrix

Als Diagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt und man schreibt häufig

D = {\rm diag} (d_1, d_2, \dots, d_n)
= \begin{pmatrix}
  d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 
  0 & d_2 & \ddots & \vdots \\
  \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
  0 & \cdots & 0 & d_n
\end{pmatrix}.

Stimmen dabei sämtliche Zahlen d_1, d_2, \ldots d_n auf der Hauptdiagonalen überein, spricht man auch von Skalarmatrizen.[1]

Inhaltsverzeichnis

Rechenoperationen

Matrixaddition, Skalarmultiplikation und Matrixmultiplikation, Transposition

Die Matrixaddition, Skalarmultiplikation und Matrixmultiplikation gestalten sich bei Diagonalmatrizen sehr einfach:

{\rm diag} (a_1, a_2, \dots, a_n) \cdot {\rm diag} (b_1, b_2, \dots, b_n) = {\rm diag} (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n)

Multiplikation einer Matrix A von links mit einer Diagonalmatrix entspricht der Multiplikation der Zeilen von A mit den Diagonaleinträgen. Die entsprechende Multiplikation von Rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von A mit den Diagonaleinträgen.

Für jede Diagonalmatrix A gilt, dass sie symmetrisch ist, folglich gilt: A=AT.[2]

Berechnung der Inversen

Eine Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keiner der Einträge auf der Hauptdiagonale 0 ist. Die inverse Matrix berechnet sich dann wie folgt:

{\rm diag} (d_1, d_2, \dots, d_n)^{-1} = {\rm diag} \left(d_1^{-1}, d_2^{-1}, \dots, d_n^{-1}\right)

Eigenschaften von Diagonalmatrizen

  • Die jeweiligen Diagonalmatrizen bilden einen kommutativen Unterring des Rings der quadratischen n \times n-Matrizen.
  • Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind die Einträge auf der Hauptdiagonale mit den kanonischen Einheitsvektoren als Eigenvektoren.
  • Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen:
    \det\left( {\rm diag} \left(d_1, d_2,\dots,d_n\right)\right) = d_1\cdot d_2\cdot\dots\cdot d_n = \prod_{i=1}^n d_i

Diagonalisierbarkeit

Eine quadratische Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn es eine Diagonalmatrix DA gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt es existiert eine invertierbare Matrix S, so dass gilt DA = S − 1AS, bzw. SDA = AS.

Für eine lineare Abbildung f\colon V \to V (Vektorraum-Endomorphismus) bedeutet dies, dass eine Basis B existiert, bei der die Darstellungsmatrix M_B^B(f) eine Diagonalmatrix ist.

Seien S und DA mit den gewünschten Eigenschaften gefunden, so gilt dass die Diagonaleinträge von DA, nämlich λi, Eigenwerte von DA zu den Einheitsvektoren ei sind. Weiterhin ist ASei = SDAei = Sλiei = λiSei. Die Sei sind also auch Eigenvektoren von A, und zwar jeweils zum Eigenwert λi.

Da S umkehrbar sein soll, ist (Se_1,\ldots,Se_n) zudem linear unabhängig.

Zusammenfassend ergibt sich daraus die notwendige Bedingung, dass die Matrix A n linear unabhängige Eigenvektoren hat, der Raum, auf dem sie operiert, also eine Basis aus Eigenvektoren von A besitzt. Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, denn aus n gefundenen Eigenvektoren von A mit den dazugehörigen Eigenwerten lassen sich geeignete DA und S ganz direkt konstruieren.

Das Problem reduziert sich damit auf das Auffinden von ausreichend vielen linear unabhängigen Eigenvektoren von A.

Eigenschaften einer diagonalisierbaren Matrix

Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.

Diagonalisierung

Ist eine Matrix A diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix DA, für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:

DA = S − 1AS

Zur Diagonalisierung dieser Matrix berechnet man die Diagonalmatrix DA und eine zugehörige Basis aus Eigenvektoren. Dies geschieht in drei Schritten:

  1. Es werden die Eigenwerte λi der Matrix A bestimmt.
  2. Es werden die Eigenräume E\left(\lambda_i\right) zu allen Eigenwerten λi berechnet, also folgendes Gleichungssystem gelöst:
    
  ( A - \lambda_i I )  \cdot \begin{pmatrix}
  e_1 \\ \vdots \\ e_n
  \end{pmatrix} = 0
  3. Nun ist die Diagonalform DA der Matrix A bezüglich der Basis B:
    D_A = {\rm diag} (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)
    S = {E1),...,En)}

Simultane Diagonalisierung

Gelegentlich will man auch zwei unterschiedliche Matrizen A,B mit derselben Transformation S diagonalisieren. Falls das gelingt, gilt S − 1AS = D1 und S − 1BS = D2 und da D1 und D2 Diagonalmatrizen sind,

 D_1\cdot D_2 = D_2\cdot D_1 \Rightarrow B\cdot A= S^{-1}D_2S\cdot S^{-1}D_1S= S^{-1}D_1D_2S= A\cdot B .

Also müssen die Endomorphismen miteinander kommutieren. In der Tat gilt auch die Umkehrung: kommutieren zwei diagonalisierbare Endomorphismen, so können sie simultan diagonalisiert werden. In der Quantenmechanik gibt es für zwei solche Operatoren dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenzuständen.

Beispiel

Die darstellende Diagonalmatrix


\mbox{diag} \left(1,3,5\right)=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 3 & 0 \\ 
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}

eines Endomorphismus besitzt die Eigenwerte

\lambda_1=1,\; \lambda_2=3,\; \lambda_3=5

mit zugehörigen Eigenräumen / Eigenvektoren


E_1=[\begin{pmatrix}
1 \\ 
0 \\ 
0 
\end{pmatrix}],\quad
E_2=[\begin{pmatrix}
0 \\ 
1 \\ 
0 
\end{pmatrix}],\quad
E_3=[\begin{pmatrix}
0 \\ 
0 \\ 
1 
\end{pmatrix}]
.

Spezielle Diagonalmatrizen

  • Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert 1 haben.
  • Die quadratische Nullmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert 0 haben.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8
  2. http://books.google.de/books?id=CnfrIB6IDFQC&pg=PA363&lpg=PA363&dq=diagonalmatrix+transponierte&source=bl&ots=39hjhMN5dT&sig=z4nFG4mqVhlcWJAOrUpgzeZaHYk&hl=de&ei=-d9LTYPvAse3hQe7vZHUDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CCEQ6AEwAQ#v=onepage&q=diagonalmatrix%20transponierte&f=false

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