Dirichlet-Funktion

Die Dirichlet-Funktion (nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet, manchmal auch als Dirichletsche Sprungfunktion bezeichnet) ist eine mathematische Funktion, die üblicherweise mit D bezeichnet wird. Sie ist die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen und somit definiert als:

D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational}\ , \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational}\ . \end{cases}

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

Die Dirichlet-Funktion ist ein Beispiel für

D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x),

Riemann-Integrierbarkeit

Die Dirichlet-Funktion ist in keinem echten Intervall Riemann-integrierbar, da für jede Zerlegung Z im Teilintervall \left [ x_{k-1}, x_k \right ] stets sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und somit

die Untersumme U(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\inf_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)

stets 0 ist (weil das Infimum stets 0 ist) und

die Obersumme O(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\sup_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)

stets die Länge des Intervalles über das integriert wird ist (weil das Supremum immer 1 ist und somit einfach die Länge der einzelnen Teilintervalle addiert wird).

Riemann-Integrierbarkeit verlangt aber gerade die Gleichheit, also dass gilt:

\begin{matrix}\text{Oberintegral} & = & \text{kl. Obersumme} & = & \text{gr. Untersumme} & = & \text{Unterintegral} \\ \overline{\int\limits_a^b}f(x)\,\mathrm dx & = & \inf_ZO(Z) & = & \sup_ZU(Z) & = & \underline{\int\limits_a^b}f(x)\,\mathrm dx\end{matrix}

Da aber für jede beliebigen Zerlegungen die Unter- und Obersummen nicht gegen den gleichen Wert konvergieren, ist D auf keinem Intervall Riemann-integrierbar.

Lebesgue-Integrierbarkeit

Da die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion ist, also eine messbare Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, die noch dazu nicht negativ sind, lässt sich das Lebesgue-Integral über ein beliebiges Intervall I wie folgt schreiben:

\int_{I} D{\rm d}\lambda = 0 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) + 1 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{Q}),

wobei λ für das Lebesgue-Maß steht.

Bei jedem beliebigen Wert von \lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) ergibt sich aus der Multiplikation mit 0 das Resultat 0. Das gilt aufgrund einer Konvention in der Maßtheorie auch dann, wenn der andere Faktor unendlich ist. Im Gegensatz dazu ist \lambda(I \cap \mathbb{Q}) stets 0, da die Punktmenge \mathbb{Q} der rationalen Zahlen abzählbar ist.

Insgesamt ergibt sich damit für die Dirichlet-Funktion in jedem Intervall:

\!\ \int_{I} D{\rm d}\lambda = 0.

Verwandte Funktion

Eine verwandte Funktion ist auf [0;1] wie folgt definiert:

f(x) := \begin{cases} 1\ ,& \mbox{wenn } x=0\ , \\ 0\ , & \mbox{wenn } x \mbox{ irrational}\ , \\ \frac 1q\ , & \mbox{wenn } x=\frac pq \mbox{ mit } p, q \in \N \mbox{ und } \operatorname{ggT}(p,q)=1\ . \end{cases}

Sie ist an jeder rationalen Stelle ihres Definitionsbereich unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig und im Gegensatz zur Dirichlet-Funktion auch Riemann-integrierbar:

\int\limits_0^1 f(x) {\mathrm d}x = 0.

Sie wird unter anderem etwa Thomaesche Funktion genannt.

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