Dirichletscher Approximationssatz

Der dirichletsche Approximationssatz ist ein mathematischer Satz über die Qualität der Approximation (Annäherung) reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Er besagt, dass es zu jeder reellen Zahl α und jeder positiven ganzen Zahl N eine ganze Zahl q mit $1 \leq q \leq N$ gibt, so dass der Abstand von qα zur nächsten ganzen Zahl höchstens gleich 1 / (N + 1) ist. In mathematischer Schreibweise: Zu jedem $\alpha \in \mathbb{R}$ und jedem $N \in \N$ existieren ein $q \in \mathbb{N}, 1 \leq q \leq N$ und ein $p \in \mathbb{Z}$, so dass

$\left| q \alpha - p \right| < \frac{1}{N+1}.$

Bewiesen wird dieser nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte Satz mithilfe des Schubfachprinzips.

Aus dem Satz folgt, dass es zu jedem reellen α unendlich viele Paare (p,q) positiver ganzer Zahlen gibt, die

$\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}$

erfüllen. Dass diese Abschätzung nicht beliebig verbessert werden kann, besagt der (ungleich komplizierter zu beweisende) Satz von Thue-Siegel-Roth.

Beispiel: Sei $\alpha = \sqrt{2}$ und N = 10. Dann ist nach dem dirichletschen Approximationssatz (mindestens) eine der Zahlen $\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \ldots, 10 \sqrt{2}$ um höchstens 1 / 11 von einer ganzen Zahl entfernt. Tatsächlich ist

$\left| 5 \sqrt{2} - 7 \right| = \left| 7,07106... - 7 \right| = 0.07106... \leq 0.090909... = \frac{1}{11}.$

Literatur

• Hans Rademacher, Otto Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Kapitel 15: „Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale“, Springer 1930 und zahlreiche Neuauflagen.