Drehpendel

Drehschwinger mit Spiralfeder

Drehschwinger (13 Sekunden, 650 KB)

Ein Torsionspendel – auch Drehpendel genannt – ist ein Pendel, das durch Verdrehen eines Drahtes schwingt. Es besteht aus einem senkrecht aufgehängten Draht, Metallband oder dünnen Metallstab, an dessen Ende der Pendelkörper befestigt ist. Beim Verdrehen des Drahtes um seine Achse tritt eine Torsionskraft auf, die für das Pendel die Rückstellkraft darstellt. Die kinetische Energie wird durch das Rotations-Trägheitsmoment des Pendelkörpers und dessen Winkelgeschwindigkeit gebildet und ist somit unabhängig von der Erdbeschleunigung.

Bei Drehschwingern mit Spiralfeder entsteht die Rückstellkraft dagegen nicht durch Torsion, sondern durch Biegung in der Spiralfeder; siehe zum Beispiel Unruh (Uhr) oder Federschwinger.

Physikalische Beschreibung

Das rückstellende Drehmoment M ist beim Drehpendel proportional zur Auslenkung und wirkt dieser entgegen:

$M = -D \cdot \varphi$

D ist das Direktionsmoment, $\varphi$ der Auslenkungswinkel im Bogenmaß.

Eine weitere physikalische Beziehung besteht zwischen dem Direktionsmoment D und der Länge des Torsionsdrahtes l:

$l\sim\frac{1}{D}$

Die mathematische Beschreibung des Torsionspendels unterscheidet sich kaum von den anderen Pendelarten:

Die Lösung der Differentialgleichung ist dieselbe, allerdings gilt sie auch für große Auslenkungen, was bei anderen Pendeln nicht der Fall ist. Somit lassen sich Schwingungsmessungen mit einem Torsionspendel sehr viel genauer durchführen.

Anders als z.B. beim hin- und herschwingenden (Schwerkraft-)Pendel gilt, dass die Linearität des Drehmoments über große Winkelbereiche gültig ist. Im Idealfall ist die Linearität bis zum Erreichen der Elastizitätsgrenze des Torsionsdrahtes gegeben. Das hat zur Folge, dass die Differentialgleichung ohne die bei Schwerkraft-Pendeln erforderliche Kleinwinkelnäherung exakt gelöst werden kann und die Schwingfrequenz weitestgehend unabhängig von der Amplitude ist. Bei geeigneter Gestaltung des Pendelkörpers ist die Luftreibung und somit die Dämpfung gering. Diese Eigenschaften machen Drehpendel auch als Zeitnormal für Uhren geeignet – jedoch stellen die Temperaturabhängigkeit und die Langzeitstabilität der Elastizitätseigenschaften des Drahtes ein Problem dar.

Für die Drehfrequenz eines idealen Torsionspendels gilt: $f=\frac{1}{2\pi}\cdot\sqrt{\frac{D}{J}}$

Dabei ist f die Frequenz in Hertz, D das Direktionsmoment und J das Trägheitsmoment des Pendelkörpers. Dieses Ergebnis würde man auch aus dem Lösen der Differentialgleichung erhalten.

Bewegungsgesetze in Abhängigkeit von der Zeit

Zeit-Weg-Gesetz: $\varphi (t) = \hat {\varphi}\cdot\sin(2\pi{f}\cdot{t})$

Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz: $\omega (t) = \dot {\varphi}(t) = \hat {\varphi}\cdot(2\pi{f})\cdot\cos(2\pi{f}\cdot{t})$

Zeit-Beschleunigungs-Gesetz: $\alpha (t) = \ddot {\varphi}(t) = - \hat {\varphi}\cdot(2\pi{f})^2\cdot\sin(2\pi{f}\cdot{t})$

Verwendung in der Lehre

Da die Dämpfung bauartbedingt gering ist, lassen sich mit Drehpendeln und Drehschwingern einige Experimente durchführen: es ist zum Beispiel möglich, am Schwinger eine gut kontrollierbare Dämpfung durch eine Wirbelstrombremse zu installieren, die nahezu die einzigen Verluste verursacht. Dies ermöglicht eine Untersuchung von gedämpften linearen Schwingungen unter gut kontrollierbaren Bedingungen. Hier einige Zusammenhänge, die sich damit belegen lassen:

• Die Kennkreisfrequenz ω₀ ist unabhängig von der Dämpfung
• Die Eigenfrequenz ist $\omega_e = \omega_0 \cdot \sqrt{ 1 - d^2 }$ mit d als Dämpfung
• Die Resonanzfrequenz ist $\omega_r = \omega_0 \cdot \sqrt{ 1 - 2d^2 }$ und die Resonanzüberhöhung beträgt $\frac{1}{ 2d\sqrt{1-d^2}}$

Verwendung

Das Torsionspendel wird bei Drehpendeluhren (mechanische Uhren mit einem Drehpendel als Zeitnormal) angewendet. Aufgrund der geringen Dämpfung können solche Uhren sehr lange (z. B. 1 Jahr) ohne Aufziehen laufen.

Cavendish-Pendel (Gravitationswaage)

Beim Cavendish-Experiment (Gravitationswaage) wird zur Bestimmung der Gravitationskonstanten ein Drehpendel verwendet.

Folgende technische Anwendungen haben einen mit einem Torsionspendel vergleichbaren Aufbau, die Pendel-Parameter sind jedoch sekundär und nur zur Berechnung und Dimensionierung der Dämpfung erforderlich:

• Drehspulinstrumente und Galvanometer-Antriebe (Spiegelgalvanometer, Galvo-Antrieb von Laserscannern) besitzen oft eine Spannbandlagerung der Spule. Die Rückstellkraft wird durch die Torsion des Bändchens aufgebracht. Das Trägheitsmoment der Spule /des Zeigers / des Spiegels bildet mit dem Band ein schwingungsfähiges System ähnlich einem Drehpendel, das in diesem Fall möglichst gut gedämpft werden muss.
• Drehstabfedern werden teilweise als Federung an Fahrzeugen (KFZ und Eisenbahn) eingesetzt; sie sind gegenüber Blattfedern sehr dämpfungsarm und müssen mit Stoßdämpfern ergänzt werden.

Weblinks

Siehe auch

• Federpendel
• Fadenpendel
• Pohlsches Rad