Drehspiegelung

Eine Drehspiegelung ist eine Kongruenzabbildung des dreidimensionalen euklidischen Raumes in sich. Sie entsteht durch Hintereinanderausführung einer Drehung um eine beliebige Achse gefolgt von der Spiegelung an einer Ebene, die von der Achse rechtwinklig geschnitten wird. Aufgrund der Ebenenspiegelung handelt es sich um eine orientierungsumkehrende Bewegung des euklidischen Raums.

Im Spezialfall einer Drehung um 180° (Drehwinkel $\varphi=\pi$) entsteht eine Punktspiegelung am Schnittpunkt von Drehachse und Spiegelebene. Hierbei ist allerdings die Drehachse nicht mehr eindeutig bestimmt: jede Gerade durch das Zentrum der Punktspiegelung kann als Achse dienen.

Alternativ lässt sich eine Drehspiegelung auch als Komposition einer Drehung und einer Punktspiegelung des Raumes an einem Punkt der Drehachse beschreiben. Allerdings ist hierbei der Drehwinkel um 180° bzw. π im Vergleich zur ursprünglichen Definition verändert.

Gelegentlich werden Drehspiegelungen auch als lineare Abbildungen des $\R^3$ in sich definiert. Diese entstehen als Hintereinanderausführung einer Drehung um eine Achse durch den Koordinatenursprung gefolgt von der Spiegelung an der zur Drehachse normalen Ebene im Ursprung.

Da jede Drehspiegelung einen Fixpunkt besitzt, lässt sich jede affine Drehspiegelung bei geeigneter Wahl des Koordinatenursprungs allein durch eine orthogonale Matrix A mit Determinante –1 darstellen:

$\R^3 \ni x \mapsto A\cdot x \in\R^3.$

Durch geeignete Drehung des kartesischen Koordinatensystems kann A in die Form

$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varphi& -\sin\varphi\\ 0 & \sin\varphi& \cos\varphi \end{pmatrix}$

mit $\varphi\in[0;2\pi[$ gebracht werden (vgl. orthogonale Gruppe).

Literatur

• Martin Nitschke: Geometrie. Hanser Verlag, ISBN 3-446-22676-1, S.98ff (eingeschränkte Online-Version (Google Books))