Agnesi-Kurve

Die Versiera der Agnesi, oder auch Versiera der Maria Agnesi, ist eine spezielle ebene Kurve, eine algebraische Kurve 3. Ordnung vom Geschlecht 0.

Sie ist benannt nach der Mathematikerin Maria Agnesi, die sie 1748 veröffentlichte. Die Kurve wurde bereits 1703 von Pierre de Fermat und Guido Grandi untersucht. Aufgrund eines Übersetzungsfehlers heißt die Kurve im Englischen "witch of Agnesi".

Gleichungen der Versiera der Agnesi

  • Kartesische Koordinaten: (x^2 + a^2) y - a^3 = \, 0
  • Parametergleichung:  x = a t \; , y = {a\over t^2 + 1}

Hierbei ist der Parameter a \in \mathbb{R}.

Eigenschaften

  • Asymptote: y = 0
  • Flächeninhalt zwischen Kurve und Asymptote: πa2
  • Krümmungsradius am Scheitelpunkt (x,\,y) = (0,\, a): R = \frac{a}{2}.
  • Zwei Wendepunkte: (x,\,y) = \left(\pm \frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{3a}{4} \right)
  • Stellt man die Darstellung in kartesischen Koordinaten nach y um, so erhält man  y(x) = \frac{a^3}{x^2 + a^2}. Damit ist  Y(x) = a^2 \arctan \frac{x}{a} eine Stammfunktion von y(x), also Y'(x) = y(x).

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