Airy-Funktion

Die Airy-Funktion Ai(x) bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion Ai(x) und die verwandte Funktion Bi(x), die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung

\ y'' - xy = 0\ ,

auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.

Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung Ai(x) wurde von Harold Jeffreys eingeführt.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Airy plot.svg

Für reelle Werte x ist die Airy-Funktion als Integral definiert:

\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, {\rm d}t\ .

Die zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art Bi(x):

\mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \left(\exp\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right) + \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\right)dt

Werte

Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für x = 0 die folgenden Werte:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[3]{9}\cdot \Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Ai}'(0) &{}= -\frac{1}{\sqrt[3]{3}\cdot\Gamma(\frac13)}, \\
 \mathrm{Bi}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[6]{3}\cdot\Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Bi}'(0) &{}= \frac{\sqrt[6]{3}}{\Gamma(\frac13)}.
\end{align}

Hierbei bezeichnet Γ die Gammafunktion. Es folgt, dass die Wronski-Determinante von Ai(x) und Bi(x) gleich \tfrac1\pi ist.

Weitere Darstellungen

\mathrm{Ai}(z)=\frac1{3^{2/3}\cdot \Gamma (\tfrac23)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac23;\tfrac19z^3\right) -  
\frac{z}{3^{1/3}\cdot \Gamma (\tfrac13)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac43;\tfrac19z^3\right)
\mathrm{Bi}(z)=\frac1{3^{1/6}\cdot \Gamma (\tfrac23)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac23;\tfrac19z^3\right) +  
\frac{3^{1/6}\cdot z}{\Gamma (\tfrac13)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac43;\tfrac19z^3\right)

unter Verwendung der hypergeometrischen Funktion 0F1.

Für x > 0 lassen sie sich auch mit der modifizierten Bessel-Funktion erster Art I so darstellen:

\mathrm{Ai}(x)=\frac13\sqrt{x}\left[ I_{-1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right) - I_{1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right)\right]
\mathrm{Ai}(x)=\sqrt{\frac x3}\left[ I_{-1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right) + I_{1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right)\right]

Eine andere unendliche Integraldarstellung für Ai lautet

\mathrm{Ai}(z)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \exp\left(\mathrm i\cdot \left(zt+\frac{t^3}3\right)\right) \mathrm dt

Es gibt die Reihendarstellungen[1]

\mathrm{Ai}(z)=\frac1{3^{2/3}\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma\left(\frac13(n+1)\right)}{n!}\left(3^{1/3}z\right)^n \sin\left(\frac{2(n+1)\pi}{3}\right)
\mathrm{Bi}(z)=\frac1{3^{1/6}\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma\left(\frac13(n+1)\right)}{n!}\left(3^{1/3}z\right)^n \left|\sin\left(\frac{2(n+1)\pi}{3}\right)\right|

Nullstellen

Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse.[2] Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für x→-∞ zu


\operatorname{Ai}(x)=0
\quad\Rightarrow\quad
x \approx -\bigl(\textstyle\frac32\pi (n - \frac14)\bigr)^{2/3}
,\quad
n \in \N

\operatorname{Bi}(x)=0
\quad\Rightarrow\quad
x \approx -\bigl(\textstyle\frac32\pi (n - \frac34)\bigr)^{2/3}
,\quad
n \in \N

Asymptotisches Verhalten

Für x gegen +∞ lassen sich Ai(x) und Bi(x) mit Hilfe der WKB-Näherung approximieren:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(x) &{}\simeq \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
 \mathrm{Bi}(x) &{}\simeq \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}.
\end{align}

Für x gegen -∞ gelten die Beziehungen:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(x) &{}\simeq \frac{\sin(\frac23(-x)^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,(-x)^{1/4}} \\
 \mathrm{Bi}(x) &{}\simeq \frac{\cos(\frac23(-x)^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,(-x)^{1/4}}. 
\end{align}

Komplexe Argumente

Ai(x) und Bi(x) sind ganze Funktionen. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.

Plots

\Re \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] \Im \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] | \mathrm{Ai} ( x + iy) | \, \mathrm{arg} \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] \,
AiryAi Real Surface.png AiryAi Imag Surface.png AiryAi Abs Surface.png AiryAi Arg Surface.png
AiryAi Real Contour.svg AiryAi Imag Contour.svg AiryAi Abs Contour.svg AiryAi Arg Contour.svg


\Re \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] \Im \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] | \mathrm{Bi} ( x + iy) | \, \mathrm{arg} \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] \,
AiryBi Real Surface.png AiryBi Imag Surface.png AiryBi Abs Surface.png AiryBi Arg Surface.png
AiryBi Real Contour.svg AiryBi Imag Contour.svg AiryBi Abs Contour.svg AiryBi Arg Contour.svg

Verwandte Funktionen

Airy-Zeta-Funktion

Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als[3]

Z(n)=\sum_r \frac1{r^n},

wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von Ai geht.

Scorersche Funktionen

Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen Gi(x) und Hi(x) zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauteten[4]

\mathrm{Gi}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\,\mathrm dt
\mathrm{Hi}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \exp\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right)\,\mathrm dt

Sie lassen sich auch durch die Funktionen Ai und Bi darstellen.

Literatur

Weblinks

 Commons: Airy-Funktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. C. Banderier, P. Flajolet, G. Schaeffer, M. Soria: Planar Maps and Airy Phenomena. In Automata, Languages and Programming. Proceedings of the 27th International Colloquium (ICALP 2000) held at the University of Geneva, Geneva, 9.-15. Juli 2000 (Ed. U. Montanari, J. D. P. Rolim, E. Welzl). Berlin: Springer, S. 388-402, 2000
  2. Eric W. Weisstein: Airy Function Zeros. In: MathWorld. (englisch)
  3. Eric W. Weisstein: Airy Zeta Function. In: MathWorld. (englisch)
  4. Milton Abramowitz und Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1954, Seite 447

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