Akkretiver Operator

Dissipative Operatoren sind lineare Operatoren, die auf reellen oder komplexen Banachräumen definiert sind und gewisse Normabschätzungen erfüllen. Durch den Satz von Lumer-Phillips spielen sie eine wichtige Rolle bei der Betrachtung stark stetiger Halbgruppen.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Seien X ein Banachraum und D(A)\subset X. Ein linearer Operator A:D(A)\rightarrow X mit

\|(\lambda-A)x\|\geq \lambda\|x\|

für alle λ > 0 und x\in X wird dissipativ genannt. Diese Bezeichnung geht auf Ralph Phillips zurück.

Ist A ein linearer Operator und A dissipativ, so wird A akkretiv genannt. Diese Bezeichnung wurde von Tosio Kato und Kurt Friedrichs eingeführt.

Hilbertraum

Wenn X ein Hilbertraum ist, ist ein linearer Operator A:D(A)\rightarrow X genau dann dissipativ, falls

\operatorname{Re}\,\langle Ax,x\rangle\leq 0

für alle x\in D(A) gilt, wobei \operatorname{Re} den Realteil bezeichnet.

Folgerungen

Sei (A,D(A)) ein dissipativer Operator auf einem Banachraum X.

  • λ − A ist für ein λ > 0 surjektiv genau dann, wenn λ − A für alle λ > 0 surjektiv ist.
  • A ist abgeschlossen genau dann, wenn das Bild von λ − A für ein λ > 0 abgeschlossen ist.

Beispiel

Betrachtet man auf einem beschränkten Gebiet \Omega\subset\R^n den Laplace-Operator Δ mit Dirichlet-Randbedingung auf L2(Ω) (siehe Lp-Raum), also D(\Delta)=H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega), erhält man:

\langle\Delta u,u\rangle=-\langle \nabla u, \nabla u\rangle=-\|\nabla u\|^2\leq 0.

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