17-Eck
regelmäßiges Siebzehneck

Das Siebzehneck (Heptadekagon) ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, welche durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind. Hier geht es um das regelmäßige Siebzehneck, welches siebzehn gleichlange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

Der Zentriwinkel α hat einen Wert von \frac{360^\circ}{17} \approx 21{,}17647059^\circ.

Das Verhältnis der Länge einer Seite zum Umkreisradius beträgt:

s = 2 \cdot r_u \cdot \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) \approx r_u \cdot 0{,}3675

Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist, d. h., es kann unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (den Euklidischen Werkzeugen) gezeichnet werden. Dies wurde von Carl Friedrich Gauß im Jahre 1796 nachgewiesen. Er zeigte, dass der Kosinus des Zentriwinkels der Formel

\cos \frac{360^\circ}{17} = \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{ 2 \left(17- \sqrt{17} \right)}
+ 2 \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \left(17- \sqrt{17} \right)} - 2 \sqrt{2 \left(17+ \sqrt{17} \right)} } \right)

entspricht, woraus sich die Konstruierbarkeit ergibt.

Im Jahre 1825 veröffentlichte Johannes Erchinger erstmalig eine Konstruktionsanleitung für das regelmäßige Siebzehneck in 64 Schritten. Eine animierte Darstellung dieser Konstruktion folgt weiter unten.

Konstruktion

Exakte Konstruktion

exakte Konstruktion


  1. Zeichnen eines großen Kreises k1 (des späteren Umkreises des entstehenden Siebzehnecks) um O,
  2. Zeichnen eines Durchmessers AB,
  3. Konstruktion der Mittelsenkrechten m, welche k1 in C und D schneidet,
  4. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO,
  5. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FA,
  6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 des Winkels OFA,
  7. Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 des Winkels zwischen m und w1, Schnittpunkt mit AB ist Punkt G.
  8. Konstruktion der Senkrechten s zu w2 auf dem Punkt F,
  9. Konstruktion der Winkelhalbierenden w3 zwischen s und w2. Schnittpunkt mit AB ist Punkt H.
  10. Konstruktion des Thaleskreises k2 über HA. Die Schnittpunkte mit CD sind J und K.
  11. Konstruktion eines Kreises k3 um G, der durch J und K verläuft. Die Schnittpunkte mit AB sind die Punkte L und N (dabei liegt N sehr nahe am Mittelpunkt M von k2).
  12. Konstruktion einer Tangente zu k3 durch N.

Die Schnittpunkte dieser Tangente mit dem Ausgangskreis k1 sind die Punkte P3 und P14 des regelmäßigen Siebzehnecks. Mit A = P0 lassen sich durch je siebenmaliges Abtragen des Abstandes d1 in jede Richtung auf dem Kreis alle weiteren Punkte des Siebzehnecks finden.

Variation:

1. bis 5. wie vorher

6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 des Winkels OFA, Schnittpunkt mit AB ist Punkt Q.

7. Konstruktion eines Kreises k4 um Q, der durch F verläuft, Schnittpunkt von k4 mit AB ist H.

Weiter mit Schritt 10 der vorherigen Konstruktion.

Animation der Konstruktion Erchingers

Konstruktion des Siebzehnecks mit Zirkel und Lineal in 64 Schritten nach Johannes Erchinger


Literatur

  • Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). In: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, S. 101-118.

Weblinks


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