Fredholmoperator

Fredholmoperator

In der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, ist der Begriff des Fredholm-Operators (nach E. I. Fredholm) eine Verallgemeinerung der Invertierbarkeit einer linearen Abbildung zwischen Vektorräumen. Für Fredholm-Operatoren kann der Fredholm-Index

\dim\ker A-\dim\mathrm{coker}\,A

definiert werden, der ein Spezialfall der Euler-Charakteristik ist.

Definition

Ein beschränkter linearer Operator A\colon X\to Y zwischen zwei Banachräumen X und Y heißt ein Fredholm-Operator, oder man sagt kurz: "A ist Fredholm", wenn

Dabei ist \ker A der Kern von A, also die Menge \{x\in X: Ax=0\} und \mathrm{ran}\,A ist das Bild von A, also die Teilmenge \{Ax\mid x\in X\}\subseteq Y.

Die Zahl

\mathrm{ind}(A)= \dim(\ker A) - \mathrm{codim}(\mathrm{ran}\,A,Y)\in\mathbb Z

heißt Fredholm-Index von A.

Eigenschaften

  •  \mathrm{ran}\; (A) ist ein abgeschlossener Unterraum.
  • Die Abbildung
\mathrm{ind}\colon A\mapsto\mathrm{ind}(A)
ist stetig bezüglich der Operatornorm und daher wegen der Diskretheit von \mathbb{Z} konstant auf Zusammenhangskomponenten.
  • Ein Operator  A: X\to Y ist genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren B1,B2 und kompakte Operatoren K1,K2 gibt, so dass AB1 = IYK1 und B2A = IXK2 gilt, d.h. wenn A modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator  A: X\to X genau dann ein Fredholm Operator, wenn seine Klasse [A]_{\mathcal{C}(X)} in der Calkin-Algebra \mathcal{B}(X)/\mathcal{C}(X) invertierbar ist.
  • Für jeden Fredholm-Operator A und jeden kompakten Operator K ist A + K ebenfalls ein Fredholm-Operator mit selbem Fredholm-Index wie A. Insbesondere ist jede kompakte Störung der Identität, also jeder Operator der Form I + K für einen kompakten Operator K ein Fredholm-Operator vom Index 0.
  • Ist A: X\to X ein Fredholm-Operator, dann gibt es ein \varepsilon > 0, so dass für alle \lambda\in\mathbb{C} mit 0 < |\lambda| < \varepsilon gilt

(i) A − λI ist ein Fredholm-Operator;
(ii) \dim\ker (A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \dim\ker A;
(iii) \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}(A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}A;
(iv) ind(A − λI) = ind(A).
Dieser Satz heißt auch das Punctured Neighbourhood Theorem.


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