Fröhliche Zahl

Eine fröhliche Zahl ist eine natürliche Zahl, die als Ausgangswert für eine bestimmte Iterationsvorschrift nach endlich vielen Iterationsschritten zu dem Zahlenwert 1 führt, ähnlich dem Collatz-Problem.

Definition

Bei einer natürlichen Zahl n mit der Dezimaldarstellung $n = \sum_{i=0}^m a_i\cdot10^i = a_0\cdot10^0+a_1\cdot10^1+ ... +a_m\cdot10^m$, wobei $0 \le a_i \le 9$ und $a_i \in \N_0$, werden die einzelnen Ziffern a_i quadriert und addiert, d. h. es wird $s = \sum_{i=0}^m a_i^2 = a_0^2+a_1^2+ ... +a_m^2$ berechnet. Die daraus resultierende Zahl wird genauso behandelt. Ergibt sich irgendwann als Ergebnis eine 1, dann haben alle folgenden Zahlen ebenfalls diesen Wert, und die Zahl wird als fröhlich bezeichnet. Die einzige Alternative ist der Übergang in den einzigen, acht Zahlen umfassenden, periodischen Zyklus (4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4). Weitere Zyklen existieren nicht.

Beispiele für fröhliche Zahlen

$19 \rightarrow 1^2+9^2 = 82 \rightarrow 8^2 + 2^2 = 68 \rightarrow 6^2 + 8^2 = 100 \rightarrow 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1$

Eine Zahl in einer Folge ist nur dann fröhlich, wenn alle Zahlen in der Folge fröhlich sind.

Die ersten 20 fröhlichen Zahlen sind:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, … (Folge A007770 in OEIS).

Beispiel für traurige (nichtfröhliche) Zahlen

$4 \rightarrow 4^2 = 16 \rightarrow 1^2 + 6^2 = 37 \rightarrow 3^2 + 7^2 = 58 \rightarrow 5^2 + 8^2 = 89 \rightarrow 8^2 + 9^2 = 145 \rightarrow 1^2 + 4^2 + 5^2 = 42 \rightarrow 4^2 + 2^2 = 20 \rightarrow 2^2 + 0^2 = 4$

Fröhliche Primzahlen

Primzahlen, die fröhlich sind, nennt man fröhliche Primzahlen

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, … (Folge A035497 in OEIS).

Die 91 ist eine fröhliche Pseudoprimzahl. Die Carmichael-Zahl 1729 ist das Produkt der ersten drei fröhlichen Primzahlen.

Siehe auch

• Glückliche Zahl
• Narzisstische Zahl

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Fröhliche Zahl. In: MathWorld. (englisch)
• Walter Schneider: Happy Numbers, Mathews, 2002 im Internet Archive