Algebra über einem kommutativen Ring

Als Algebra über einem kommutativen Ring oder R-Algebra (wobei R ein kommutativer Ring ist) bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen (Algebra-)Multiplikation besteht. Insbesondere ist eine Algebra über einem kommutativen Ring eine Verallgemeinerung der Algebra über einem Körper.

Explizite Definition

Seien R ein kommutativer Ring und A ein R-Modul. Die Multiplikation ist eine bilineare, zweistellige Verknüpfung

 A\times A\to A,

d.h., für beliebige Elemente x,y,z\in A und Skalare \lambda\in R gilt

  •  (x+y)\cdot z = xz + yz,
  •  x\cdot(y+z) = xy + xz,
  •  \lambda\cdot(xy) = (\lambda x)\cdot y = x\cdot (\lambda y).

Hier ist zunächst weder Assoziativität noch Kommutativität noch die Existenz eines Einselements der Algebra-Multiplikation vorausgesetzt.

Beispiele

  • Jeder Ring ist eine \mathbb Z-Algebra, also eine Algebra über dem kommutativen Ring \mathbb Z der ganzen Zahlen.
  • Jeder kommutative Ring ist eine Algebra über sich selbst.

Literatur


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