Algebraische Unabhängigkeit

In der abstrakten Algebra ist die algebraische Unabhängigkeit eine Eigenschaft von Elementen einer transzendenten Körpererweiterung, welche besagt, dass diese Elemente keine nichttriviale Polynomgleichung mit Koeffizienten im Grundkörper erfüllen.

Definition

Sei L / K eine Körpererweiterung. Seien v_1, \ldots , v_n Elemente von L. Gibt es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom f in n Variablen und Koeffizienten in K, d.h. f in K \lbrack X_1, \ldots , X_n \rbrack \setminus \{0\}, so dass

f(v_1, \ldots , v_n) = 0,

dann heißen v_1, \ldots , v_n algebraisch abhängig.

Existiert kein solches Polynom, dann heißen die Elemente algebraisch unabhängig.

Dieser Begriff kann auf unendliche Teilmengen M von L erweitert werden, indem man eine Menge M algebraisch abhängig nennt, wenn sie eine algebraisch abhängige endliche Teilmenge hat.

Mit Polynomen erhält man auch die Abhängigkeit von Inversen, denn z.B. stehen X = e und Y = 1/e in der Polynom-Beziehung XY = 1.

Jedes über dem Grundkörper K algebraische Element ist algebraisch abhängig, denn es erfüllt ein Polynom über K. (So wie der Nullvektor eines Vektorraums allein schon linear abhängig ist.)

Ähnlich zum in Vektorräumen verwendeten Konzept der Linearkombination (lineares homogenes Polynom), welches den Begriff der linearen Unabhängigkeit liefert, betrachtet man manchmal bei Körpererweiterungen algebraische Kombinationen transzendenter Elemente, d.h. beliebige (gebrochenrationale) Polynome mit Koeffizienten im Grundkörper.

Ein maximales System algebraisch unabhängiger Elemente heißt Transzendenzbasis, ihre Mächtigkeit heißt Transzendenzgrad der Erweiterung.

Beispiele

  • Die reellen Zahlen π+1 und π2 (mit der Kreiszahl pi) sind algebraisch abhängig über den rationalen Zahlen \mathbb{Q} (denn sie erfüllen mit X = π+1 und Y = π2 die Polynomgleichung Y − (X − 1)2 = 0.
  • Ebenso sind π und die imaginäre Einheit i algebraisch abhängig über \mathbb{Q}, denn mit X = π und Y = i gilt 0\cdot X + Y^2 + 1 =0. Das liegt natürlich daran, dass die Menge {i} allein schon algebraisch abhängig ist. Mann kann insbesondere nicht schließen, dass π algebraisch abhängig von i ist, was ja auch falsch wäre.

Beispiele von komplexen Zahlen, die über \mathbb{Q} algebraisch unabhängig sind, sind schwerer zu finden, obwohl es bewiesenermaßen unendlich viele (genauer: Kontinuum viele) über \mathbb{Q} algebraisch unabhängige komplexe Zahlen gibt. Man vermutet aber, dass e und π es sind. Leicht ist es dagegen, Beispiele in anderen Körpern zu finden:

  • Im rationalen Funktionenkörper \mathbb{Q}(X, Y) in zwei Unbestimmten X und Y über den rationalen Zahlen sind die Elemente X und Y algebraisch unabhängig, denn nach Definition dieses Körpers ist das einzige Polynom in zwei Variablen, das an der Stelle (X, Y) gleich 0 ist, das Nullpolynom.

Literatur


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