Algebraisches Element

Die Begriffe algebraisches und transzendentes Element treten in der abstrakten Algebra auf und verallgemeinern das Konzept von algebraischen und transzendenten Zahlen.

Ist L/K eine Körpererweiterung, dann heißt ein Element a von L algebraisch über K, wenn es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit Koeffizienten in K gibt, das a als Nullstelle hat. Ein Element, für das kein solches Polynom existiert, heißt transzendent über K.

Für die Erweiterung \Bbb C / \Bbb Q stimmen diese Begriffe mit denen der algebraischen bzw. transzendenten Zahl überein.

Beispiele

  • Die Quadratwurzel von 2 ist algebraisch über \Bbb Q, denn sie ist eine Nullstelle des Polynoms X2 − 2, dessen Koeffizienten rational sind.
  • Die Kreiszahl π und die Eulersche Zahl e sind transzendent über \Bbb Q, aber algebraisch über \Bbb R, denn sie sind als reelle Zahlen definiert. Allgemeiner gilt:
  • Jedes Element a des Körpers K ist algebraisch über K, denn es ist Nullstelle des linearen Polynoms Xa.
  • Jede komplexe Zahl, die sich durch rationale Zahlen, die Grundrechenarten +,-,*,/ und Wurzelziehen (mit natürlichen Wurzelexponenten) bilden lässt, ist algebraisch über \Bbb Q.
  • Aus der Galoistheorie folgt aber andererseits, dass es über \Bbb Q algebraische Zahlen gibt, die sich nicht auf diese Weise darstellen lassen; vergleiche hierzu den Satz von Abel-Ruffini.
  • Über dem Körper \Bbb Q_p der p-adischen Zahlen ist e (als Grenzwert der Reihe der reziproken Fakultäten) algebraisch, denn für p>2 ist ep und für p=2 ist e4 in \Bbb Q_p enthalten.
  • Bildet man zu einem beliebigen Körper K den Körper der Formalen Laurentreihen K\left(\left(X\right)\right), so ist die formale Variable X ein transzendentes Element dieser Erweiterung.

Eigenschaften

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent für ein Element a aus L (einem Oberkörper von K):

  • a ist algebraisch über K
  • die Körpererweiterung K\left(a\right)/K hat endlichen Grad, d.h. K\left(a\right) ist als K-Vektorraum endlichdimensional.
  • K\left(a\right)=K\left[a\right]

Dabei ist K\left[a\right] die Ringadjunktion von a an K, die aus allen Elemente von L besteht, die sich als g\left(a\right) mit einem Polynom g über K schreiben lassen; K\left(a\right) ist dessen Quotientenkörper in L und besteht aus allen Elementen von L, die sich als g\left(a\right)/h\left(a\right) mit Polynomen g und h über K (h\left(a\right) ungleich 0) schreiben lassen.

Diese Charakterisierung kann genutzt werden, um zu zeigen, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient von über K algebraischen Elementen wieder algebraisch über K sind. Die Menge aller über K algebraischen Elemente von L bildet einen Zwischenkörper der Erweiterung L / K, den so genannten algebraischen Abschluss in L.

Minimalpolynom

Ist a algebraisch über K, dann gibt es viele Polynome g\in K[X] mit g\left(a\right)=0. Es gibt aber genau ein normiertes Polynom von kleinstem Grad mit Nullstelle a, dieses heißt das Minimalpolynom von a über K. Aus ihm kann man viele Eigenschaften von a ablesen. Zum Beispiel ist der Grad dieses Polynoms gleich dem Erweiterungsgrad von K\left(a\right)/K.


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