Algebren

Algebren
Algebra über einem Körper

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

umfasst als Spezialfälle

Eine Algebra A über einem Körper K oder kurz K-Algebra ist ein K-Vektorraum mit einer K-bilinearen Verknüpfung

 A\times A\to A,

Multiplikation genannt, die durch x · y oder xy symbolisiert wird. (Diese Verknüpfung ist unabhängig von der Multiplikation im Körper und derjenigen von Körperelementen mit Vektoren; die Verwendung desselben Symbols führt jedoch nicht zu Verwechslungen, da aus dem Kontext hervorgeht, welche Verknüpfung gemeint ist.) In älteren Algebra-Büchern wird eine Algebra über einem Körper auch als lineare Algebra bezeichnet[1].

Allgemeiner kann K ein kommutativer Ring sein, dann ist „Vektorraum“ durch „Modul“ zu ersetzen, und man erhält eine Algebra über einem kommutativen Ring.

Explizit bedeutet das für Elemente x, y, z von A und Skalare λ in K:

  •  (x+y)\cdot z = xz + yz
  •  x\cdot(y+z) = xy + xz
  •  \lambda\cdot(xy) = (\lambda x)\cdot y = x\cdot (\lambda y)

Weitere Attribute und Beispiele

Eine assoziative Algebra ist eine K-Algebra, in der für die Multiplikation das Assoziativgesetz gilt. Beispiele:

Eine kommutative Algebra ist eine K-Algebra, in der für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt. Beispiele:

  • Die (assoziative) Algebra K[x] der Polynome mit Koeffizienten in K in einer Unbekannten x.
  • Die (ebenfalls assoziative) Algebra K[x1,...,xn] der Polynome mit Koeffizienten in K in mehreren Unbekannten x1,...,xn.
  • Eine Funktionenalgebra erhält man, indem man einen Funktionenraum von Funktionen von einer Menge M in einen Körper K mit folgender punktweisen Multiplikation versieht:
 (f\cdot g)(x) := f(x)\cdot g(x),\qquad f,g:M\to K, x\in K

Funktionenalgebren sind assoziativ, weil die zugrunde liegende Körpermultiplikation assoziativ ist.

  • Genetische Algebren sind kommutative Algebren mit einigen zusätzlichen Eigenschaften, in denen das Assoziativgesetz im Allgemeinen nicht erfüllt ist.

Eine unitäre Algebra ist eine Algebra mit einem neutralen Element der Multiplikation, dem Einselement (vgl. unitärer Ring. Beispiele:

  • Matrizenalgebren mit der Einheitsmatrix als Einselement.
  • Jede Gruppenalgebra ist unitär: das Einselement der Gruppe ist auch Einselement der Algebra.
  • Das konstante Polynom 1 ist Einselement einer Polynomalgebra.
  • Der Körper K mit seiner Körpermultiplikation als Algebra-Multiplikation ist als K-Algebra assoziativ, kommutativ und unitär.

Wenn das aus dem jeweiligen Kontext klar ist, werden die Eigenschaften „assoziativ“, „kommutativ“ und „unitär“ in der Regel nicht explizit genannt.

Manche Autoren bezeichnen eine K-Algebra als nicht-assoziativ, wenn das Assoziativgesetz nicht vorausgesetzt wird[2]. (Diese Begriffsbildung führt allerdings zu der etwas verwirrenden Konsequenz, dass insbesondere jede assoziative Algebra auch nicht-assoziativ ist.) Einige Beispiele für Algebren, die nicht notwendigerweise assoziativ sind:

  • Eine Divisionsalgebra ist eine Algebra, in der man „dividieren“ kann, d.h. in der alle Gleichungen ax = b und ya = b für a ≠ 0 stets eindeutig lösbar sind. Eine Divisionsalgebra muß weder kommutativ noch assoziativ noch unitär sein.
  • Der reelle Vektorraum \mathbb{R}^3 mit dem Kreuzprodukt. Diese reelle Algebra ist insbesondere eine Lie-Algebra.
  • Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden folgenden Bedingungen gelten (in Lie-Algebren wird das Produkt meist als [x,y] geschrieben):
  • Eine Baric-Algebra.

Einzelnachweise

  1. siehe z.B. bei Dickson (1905), http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Dickson_linear_algebras.html
  2. siehe z.B. R. Lidl und J. Wiesenbauer, Ringtheorie und ihre Anwendungen, Wiesbaden 1980, ISBN 3-400-00371-9, Seite

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Algebren — Algebren,   Plural des Strukturbegriffs Algebra …   Universal-Lexikon

  • Lie-Algebren — Lie Algebra berührt die Spezialgebiete Mathematik Lineare Algebra Lie Gruppen Physik Eichtheorie ist Spezialfall von Vektorraum …   Deutsch Wikipedia

  • Tensorprodukt für von-Neumann-Algebren — In der mathematischen Theorie der von Neumann Algebren kann man ein Tensorprodukt definieren, mit dem man aus zwei von Neumann Algebren eine dritte erhält. Da von Neumann Algebren auf Hilberträumen operieren und dort gewisse… …   Deutsch Wikipedia

  • Darstellungssatz für Boolesche Algebren — Der Darstellungssatz für Boolesche Algebren (auch: Darstellungssatz von Stone) ist ein Satz aus der Mengenlehre, der 1936 von dem US amerikanischen Mathematiker Marshall Harvey Stone entdeckt wurde. Er besagt, dass jede Boolesche Algebra zu einer …   Deutsch Wikipedia

  • C*-Algebra — C* Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Abstraktion der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum, sie spielen daher in der mathematischen Beschreibung der… …   Deutsch Wikipedia

  • AF-C*-Algebra — AF C* Algebren, oder kürzer AF Algebren, bilden eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Klasse von C* Algebren, die sich aus endlichdimensionalen C* Algebren aufbauen lassen, AF steht für approximately finite (fast… …   Deutsch Wikipedia

  • UHF-Algebra — UHF Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse von C* Algebren, die nach ihrem Entdecker James Glimm auch Glimm Algebren genannt werden. Die UHF Algebren sind einfach, das… …   Deutsch Wikipedia

  • Nukleare C*-Algebra — Die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachteten nuklearen C* Algebren bilden eine große Klasse von C* Algebren, die wichtige Teilklassen umfasst. Die nuklearen C* Algebren sind im Zusammenhang mit Eindeutigkeitsfragen… …   Deutsch Wikipedia

  • Duale C*-Algebra — Die dualen C* Algebren, auch C* Algebren kompakter Operatoren genannt, sind eine spezielle Unterklasse von in der Mathematik betrachteten C* Algebren. Sie zeichnen sich durch eine besonders einfache Struktur aus. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 …   Deutsch Wikipedia

  • GCR-Algebra — Postliminale C* Algebren sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C* Algebren. Alternative Bezeichnungen, die weiter unten motiviert werden, sind GCR Algebra oder Typ I C* Algebra. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung der Klasse… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”