Haar-System

Haar-System

In der Funktionalanalysis wird eine abzählbare Menge {bn} eines Banachraums, deren lineare Hülle dicht im ganzen Raum ist, als Schauderbasis bezeichnet, falls jeder Vektor bezüglich ihr eine eindeutige Darstellung als (unendliche) Linearkombination hat.

Benannt sind die Schauderbasen nach dem polnischen Mathematiker Juliusz Schauder (1899–1943), der sie 1927 beschrieb.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei (X, \left\|\cdot\right\|) ein Banachraum über dem Grundkörper \mathbb{K} = \mathbb{R} oder \mathbb{C}. Eine Folge (b_n)_{n\in\mathbb{N}} in X heißt Schauderbasis, falls jedes x \in X eindeutig als konvergente Reihe x = \sum_{n=1}^{\infty} \xi_n \cdot b_n, \; \xi_n \in \mathbb{K}, dargestellt werden kann.

Beispiele

  • Im Folgenraum \ell^p := \left\{ (x_j)_{j=1}^\infty, x_j \in \mathbb{R} \,:\, \sum_{j=1}^\infty |x_j|^p < \infty \right\} mit der Norm \left\| x \right\| = \sqrt[p]{\sum_{j=1}^\infty |x_j|^p} bilden für 1 \leq p < \infty die Einheitsvektoren (1, 0, 0, \dots), (0,1,0,0, \dots), \dots eine Schauderbasis.
  • Setze h1(x) = 1 für alle x\in [0,1], und für 1\le i\le 2^n definiere h_{2^n+i}:[0,1]\rightarrow \R durch
h_{2^n+i}(x)=\begin{cases}1,&(2i-2)/2^{n+1} \le x < (2i-1)/2^{n+1},\\-1,&(2i-1)/2^{n+1} \le x < 2i/2^{n+1},\\0&\mbox{sonst}.\end{cases}
Bis auf einen konstanten Faktor ist jedes hk eine auf [0,1) eingeschränkte Haar-Wavelet-Funktion. Man kann zeigen, dass die Folge (h_k)_{k\in\mathbb{N}}, die man nach Alfréd Haar auch das Haar-System nennt, eine Schauderbasis für Lp([0,1]) ist, 1\le p < \infty.

Eigenschaften

Allgemeine Eigenschaften

  • Ein Banachraum, der eine Schauderbasis besitzt, ist separabel.
  • Umgekehrt besitzt nicht jeder separable Banachraum eine Schauderbasis.[1]
  • Banachräume mit Schauderbasis haben die Approximationseigenschaft.
  • In unendlichdimensionalen Banachräumen ist eine Schauderbasis nie Hamelbasis des Vektorraums, da eine solche in unendlichdimensionalen Banachräumen stets überabzählbar sein muss (siehe Satz von Baire).
  • Die Darstellung eines Elements x \in X bezüglich einer Schauderbasis ist nach Definition eindeutig. Die Zuordnungen b_n^\ast : x \mapsto \xi_n werden als Koeffizientenfunktionale bezeichnet; sie sind linear und stetig und daher Elemente des Dualraums von X.

Eigenschaften der Basis

Schauderbasen können weitergehende Eigenschaften haben. Die Existenz von Schauderbasen mit solchen Eigenschaften hat dann weitere Konsequenzen für den Banachraum.

Ist (b_n)_{n\in\mathbb{N}} eine Schauderbasis des Banachraums X, so gibt es eine Konstante K > 0, so dass für p < q und jede Wahl von Skalaren \xi_n\in {\mathbb K} die Ungleichung \left\|\sum_{n=1}^p \xi_nb_n\right\| \, \le \, K\cdot \left\|\sum_{n=1}^q \xi_nb_n\right\| gilt. Das Infimum über die K > 0, die zu vorgegebener Basis diese Ungleichung erfüllen, nennt man die Basiskonstante. Man spricht von einer monotonen Basis, wenn die Basiskonstante gleich 1 ist.

Man nennt eine Basis (b_n)_{n\in\mathbb{N}} beschränkt vollständig (englisch: boundedly complete), wenn es zu jeder Folge (\xi_n)_{n\in\mathbb{N}} von Skalaren mit \sup_{m \in \N}\left\| \sum_{n=1}^m \xi_nb_n\right\|&amp;lt;\infty ein x\in X gibt mit x = \sum_{n=1}^\infty \xi_nb_n .

Weiter sei X_n\subset X der von (b_j)_{j\ge n} erzeugte abgeschlossene Unterraum, und für f\in X\,' sei \|f|_{X_n}\| die Norm des eingeschränkten Funktionals f|_{X_n} \in X_n'. Die Basis heißt schrumpfend (englisch: shrinking), wenn \lim_{n\to\infty}\|f|_{X_n}\| = 0 für alle f\in X\,'.

Schließlich spricht man von einer unbedingten Basis (englisch: unconditional), wenn alle Reihen x=\sum_{n=1}^\infty \xi_nb_n in den Entwicklungen bezüglich der Basis unbedingt konvergieren. Man kann zeigen, dass das Haar-System in Lp([0,1]) für 1&amp;lt;p&amp;lt;\infty eine unbedingte Basis ist, nicht aber für p = 1. Der Raum L1([0,1]) besitzt keine unbedingte Basis.

Zwei Sätze von R. C. James

Die folgenden beiden Sätze von Robert Clarke James zeigen die Bedeutung der Basisbegriffe.

  • R. C. James: Sei X ein Banachraum mit Schauderbasis. X ist genau dann reflexiv, wenn die Basis beschränkt vollständig und schrumpfend ist.

Für unbedingte Schauderbasen kann man das Vorhandensein gewisser Unterräume charakterisieren. Sei X ein Banachraum mit unbedingter Schauderbasis. Dann gilt:

  • X enthält keinen zu c0 isomorphen Unterraum. \Leftrightarrow Die Basis ist beschränkt vollständig.
  • X enthält keinen zu \ell^1 isomorphen Unterraum. \Leftrightarrow Die Basis ist schrumpfend.

Als Konsequenz ergibt sich daraus:

  • R. C. James: Sei X ein Banachraum mit unbedingter Schauderbasis. X ist genau dann reflexiv, wenn X keinen zu c0 oder \ell^1 isomorphen Unterraum enthält.

Literatur

  • Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry, Elesevier Science Publishers (1985) ISBN 0444878785
  • Zdzisław Denkowski, Stanisław Migórski, Nikolas S. Papageorgiou: An introduction to nonlinear analysis. Kluwer, Boston 2003, ISBN 0-306-47392-5
  • Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. 1984, ISBN 0-387-90859-5.
  • Yuli Eidelman, Vitali Milman, Antonis Tsolomitis: Functional analysis. An introduction. American Mathematical Society, Providence 2004, ISBN 0821836463
  • Ivan Singer: Bases in Banach spaces I (1970) und Bases in Banach spaces II (1981), Springer Verlag

Einzelnachweise

  1. Per Enflo: A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Mathematica, Band 130, Nr. 1, Juli 1973.

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Haar-Raum — Ein Haar Raum, oder Haarscher Raum (benannt nach Alfréd Haar) wird in der Approximationstheorie folgendermaßen definiert: Besitzen n linear unabhängige, auf einem Intervall [a,b] stetige Funktionen die Eigenschaft, dass jedes Element , in [a,b]… …   Deutsch Wikipedia

  • Haar der Berenice — Daten des Sternbildes Haar der Berenike Deutscher Name Haar der Berenike Lateinischer Name Coma Berenices Lateinischer Genitiv Comae Berenices Lateinische Abkürzung Com Lage Nördlicher Fixsternhimmel Rektaszension …   Deutsch Wikipedia

  • Haar der Berenike (Sternbild) — Daten des Sternbildes Haar der Berenike Deutscher Name Haar der Berenike Lateinischer Name Coma Berenices Lateinischer Genitiv Comae Berenices Lateinische Abkürzung Com Lage Nördlicher Fixsternhimmel Rektaszension …   Deutsch Wikipedia

  • Haar der Berenike — Sternbild Haar der Berenike …   Deutsch Wikipedia

  • Haar wavelet — ] >The Haar wavelet is the first known wavelet and was proposed in 1909 by Alfréd Haar [Haar, Alfred; Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. (German) Mathematische Annalen 69 (1910), no. 3, 331 371.] . Haar used these functions to give… …   Wikipedia

  • System of imprimitivity — The concept of system of imprimitivity is used in mathematics, particularly in algebra and analysis, both within the context of the theory of group representations. It was used by George Mackey as the basis for his theory of induced unitary… …   Wikipedia

  • System (Philososphie) — Dieser Artikel bedarf einer Überarbeitung. Näheres ist auf der Diskussionsseite angegeben. Hilf mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung. Darstellung verschiedener Systeme …   Deutsch Wikipedia

  • Tschebyschow-System — Ein Haar Raum, oder Haarscher Raum (benannt nach Alfred Haar) wird in der Approximationstheorie folgendermaßen definiert: Besitzen n linear unabhängige, auf einem Intervall [a,b] stetige Funktionen die Eigenschaft, dass jedes Element , in [a,b]… …   Deutsch Wikipedia

  • Dirk ter Haar — (Oosterwolde, 19 April 1919 Drachten, 3 September 2002) was an Anglo Dutch physicist. Dirk ter Haar (Dr, B.Sc., M.Sc., MA, D.Sc., FRSE) studied physics at Leiden University, was research fellow of Niels Bohr in Copenhagen, and received his Ph.D.… …   Wikipedia

  • Computer-controlled Vehicle System — The Computer controlled Vehicle System, almost universally referred to as CVS, was a personal rapid transit (PRT) system developed by a Japanese industrial consortium during the 1970s. Like most PRT systems under design at the same time, CVS was… …   Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”