Hall-Effekt

Verdeutlichung des Hall-Effekts: In Zeichnung „A“ nimmt die Hall-Sonde an der Oberseite eine negative Ladung an (symbolisiert durch die blaue Farbe) und eine positive Ladung an der Unterseite (rote Farbe). In den Zeichnungen „B“ und „C“ sind das elektrische bzw. magnetische Feld umgekehrt, so dass die Ladungspolarisation vertauscht ist. In der Zeichnung „D“ sind beide Felder umgekehrt, so dass sich wieder die gleiche Polarisation wie in Zeichnung „A“ einstellt. Legende:
  1.  Elektronen
  2.  Hallelement oder Hallsonde
  3.  Magnete
  4.  Magnetfeld
  5.  Spannungsquelle

Der Hall-Effekt ['hɔːl-], benannt nach Edwin Hall, beschreibt das Auftreten einer elektrischen Spannung in einem stromdurchflossenen Leiter, der sich in einem stationären Magnetfeld befindet. Die Spannung fällt dabei senkrecht sowohl zur Stromfluss- als auch zur Magnetfeldrichtung am Leiter ab und wird Hall-Spannung U_H genannt.

Die Größe der Spannung kann mit Hilfe der weiter unten hergeleiteten Gleichung

$U_{\mathrm{H}}=A_\mathrm{H}\,\frac{IB}{d}$

aus Stromstärke I, magnetischer Flussdichte B, Dicke der Probe d (parallel zu B) und einer Materialkonstanten – der so genannten Hall-Konstanten (auch: Hall-Koeffizient) A_H – berechnet werden.

Erklärung

Der Hall-Effekt tritt in einem stromdurchflossenen elektrischen Leiter auf, der sich in einem Magnetfeld befindet, wobei sich ein elektrisches Feld aufbaut, das zur Stromrichtung und zum Magnetfeld senkrecht steht und das die auf die Elektronen wirkende Lorentzkraft kompensiert.

Durch Anlegen einer Spannung an die Probe fließt ein Strom. Die Ladungsträger sind im Allgemeinen Elektronen, es kann aber auch Löcherleitung in entsprechend dotierten Halbleitern vorherrschen. Die Elektronen bewegen sich entgegen der technischen Stromrichtung mit einer mittleren Geschwindigkeit v (Driftgeschwindigkeit) durch den Leiter. Wegen der durch das Magnetfeld verursachten Lorentz-Kraft wird das Elektron senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung abgelenkt. Hierdurch kommt es auf der entsprechenden Seite des Leiters zu einem Elektronenüberschuss (blau hervorgehoben), während es auf der gegenüberliegenden Seite im selben Maße zu einem Elektronenmangel kommt (rot hervorgehoben). Man hat es also mit einer Ladungstrennung zu tun, vergleichbar mit der eines Kondensators. Die sich nun gegenüberstehenden negativen und positiven Ladungsüberschüsse verursachen ein elektrisches Feld, das eine Kraft auf die Elektronen ausübt, die der Lorentz-Kraft entgegengerichtet ist. Die Verstärkung der Ladungstrennung kommt zum Stillstand, wenn sich beide Kräfte gerade kompensieren. Wie beim Kondensator kann eine Spannung abgegriffen werden, die hier als Hall-Spannung bezeichnet wird. Die Hall-Spannung folgt Strom- und Magnetfeldänderungen in der Regel unmittelbar. Sie steigt mit dem Magnetfeld linear an und ist antiproportional zur (vorzeichenbehafteten) Ladungsträgerdichte^[1] , da die geringere Anzahl von Ladungsträgern bei gleicher Stromstärke eine höhere Geschwindigkeit der Einzelladungen zur Folge hat. Da die Ladungsträgerdichte in Halbleitern bedeutend kleiner ist als in Metallen werden vorwiegend Halbleiter als Hall-Sonden benutzt.

Die Hallspannung ist insbesondere unabhängig vom spezifischen Widerstand der Probe. Der Hall-Effekt wird sowohl zum Messen von Magnetfeldern (mit Hall-Sonde) als auch zur Bestimmung der Ladungsträgerart (Elektronen oder Löcher) und deren Dichte eingesetzt.

Die spezifischen Eigenschaften des Leitungsvorganges werden durch die Hall-Konstante A_H wiedergegeben.

Geschichte

Edwin Hall beschrieb den später nach ihm benannten Effekt 1879^[2] im Rahmen seiner Promotionsarbeit. Nach eigener Aussage^[3] wurde er durch eine Aussage von James Clerk Maxwell dazu motiviert, diesen Effekt zu suchen, denn diese Aussage Maxwells erschien ihm unnatürlich:

„It must be carefully remembered that the mechanical force which urges a conductor carrying a current across the lines of magnetic force acts, not on the electric current, but on the conductor which carries it. — The only force which acts on electric currents is electromotive force.“

Vor Hall hatten schon eine Reihe anderer Physiker einen solchen Effekt gesucht (etwa Feilitzsch, Mach, Wiedemann und sein Doktorvater Rowland), aber erst er erreichte eine ausreichende Messempfindlichkeit. Seine Doktorarbeit enthielt Messungen des Hall-Effekts in Gold. Zu späteren Messungen bemerkte Kelvin:

„The subject of the communication is by far the greatest discovery that has been made in respect to the electrical properties of metals since the times of Faraday – a discovery comparable with the greatest made by Faraday.“

Herleitung

Verwendete Größen
$\vec B$	Magnetische Flussdichte
$\vec E$	Elektrische Feldstärke
$\vec F$	Kraft auf die Ladungsträger
UH	Hall-Spannung
I	Elektrische Stromstärke
$\vec j$	Stromdichte
$\vec v$	Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger
b	Breite des Leiters
d	Dicke des Leiters
n	Ladungsträgerdichte
q	Ladung eines Ladungsträgers
AH	Hall-Konstante

Zum Verständnis dieses Abschnitts sind Grundkenntnisse in der Vektorrechnung und Elektrodynamik hilfreich.

An dieser Stelle soll eine kurze Herleitung der Formel für die Hallspannung skizziert werden. Die Gültigkeit der Herleitung beschränkt sich dabei auf elektrische Leiter mit nur einer Sorte von Ladungsträgern, wie bei Metallen (Elektronen) oder stark dotierten Halbleitern (entweder überwiegend Löcher oder Elektronen).

Bewegte Ladungsträger in einem magnetischen Feld erfahren die Lorentzkraft:

$\vec F=q\,\vec v \times \vec B$

Beim Hall-Effekt baut sich ein kompensierendes elektrisches Feld auf, das die ablenkende Wirkung des Magnetfeldes neutralisiert. Für die resultierende Kraft auf die Ladungsträger muss folglich gelten:

$q\,(\vec E + \vec v \times \vec B)=0$

Der Einfachheit halber wird das Koordinatensystem so gelegt, dass sich die Ladungsträger in x-Richtung bewegen und das Magnetfeld in z-Richtung wirkt. Es ist also $\vec v =(v_x,0,0)$ und $\vec B =(0,0,B_z)$. Damit wird die y-Komponente der obigen Gleichung nach Kürzen von q zu:

$\left.E_y - v_x B_z=0\right. \,$

Die Stromdichte $\vec j$ im Leiter lässt sich allgemein durch $\vec j =nq \vec v$ ausdrücken. Löst man diese Beziehung nach v_x auf und setzt sie in obige Gleichung, so erhält man

$E_y = \frac{1}{nq}\,j_xB_z = A_\mathrm{H}\,j_xB_z$

Über diese Beziehung wird die Hall-Konstante A_H definiert, welche die Stärke des Hall-Effektes charakterisiert.

Um die Gleichung etwas handlicher zu machen, kann man den Leiter, in dem ja eine Ladungstrennung stattgefunden hat, als Plattenkondensator auffassen.^[4] Für diesen gilt die Beziehung

$E_y = \frac{U_\mathrm{H}}{b}$.

Außerdem kann die Stromdichte j_x im vorliegenden Fall durch j_x = I / bd ausdrückt werden. Setzt man diese beiden Schreibweisen ein, so erhält man für die Hallspannung U_H einen nur noch von einfach messbaren Größen abhängenden Ausdruck:

$U_\mathrm{H} = A_\mathrm{H}\,\frac{IB_z}{d}$.

Diese Gleichung ist auch für Leiter mit verschiedenen Sorten von Ladungsträgern korrekt, jedoch lässt sich dann die Hall-Konstante nicht mehr durch A_H = 1 / nq berechnen. Aus der Gleichung lässt sich der sogenannte Hall-Widerstand angeben:

$R(B) = A_\mathrm{H}\,\frac{B_z}{d}$

Der Hall-Widerstand charakterisiert ein Hallelement, hat jedoch nichts mit dem gemessenen elektrischen Widerstand an einem Hallelement zu tun. Er gibt das Verhältnis Querspannung zu Strom eines Hallelementes bei einer bestimmten magnetischen Flussdichte an:

$R(B) = \frac{U_{Quer}}{I}$

Anwendung

Germanium-Hall-Effekt-Wafer

In der Elektronik wird der Hall-Effekt in so genannten Hallsonden zur Messung der magnetischen Flussdichte benutzt. Fließt ein Strom durch den Leiter, so kann durch das Messen der erzeugten Hall-Spannung nach obiger Formel B berechnet werden. Materialien mit großer Hall-Konstante zeichnen sich dabei mit einer hohen Empfindlichkeit aus. Aus diesem Grund werden meist Halbleitermaterialien verwendet. Die Massenfertigung zum breiten Einsatz in der Industrie wurde erst durch die Integration von Hall-Platten in CMOS-Technologie möglich. Erst damit können Temperaturabhängigkeiten und andere Effekte kompensiert und die Hallspannung entsprechend ausgewertet und digital aufbereitet werden. Heute gibt es immer komplexere Hall-Sensoren auf CMOS-Basis in Anwendungen zur Winkel-, Positions-, Geschwindigkeits- und Strommessung.

Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Bestimmung von Ladungsträgerdichten durch Messen der Hall-Konstanten. Durch eine zusätzliche Messung der elektrischen Leitfähigkeit (oder des spezifischen Widerstands) ist es zudem möglich, die Beweglichkeit der Ladungsträger im Material zu ermitteln. Eine komfortable Methode zur Bestimmung des spezifischen Widerstandes und der Hallkonstanten an dünnen Schichten ist die Van-der-Pauw-Messmethode.

Ein elektronischer Kompass kann mit Hallsonden gebaut werden.

Praktische Anwendungen finden sich auch in der Raumfahrt, bei Hall-Ionentriebwerken.^{[5] [6]}

Quanten-Hall-Effekt

→ Hauptartikel: Quanten-Hall-Effekt

Schon um 1930 herum hatte Landau den Gedanken, dass bei sehr tiefen Temperaturen, starken Magnetfeldern und zweidimensionalen Leitern Quanteneffekte auftreten sollten.^[7] Der Quanten-Hall-Effekt bewirkt, dass in zweidimensionalen Systemen bei sehr starken Magnetfeldern und tiefen Temperaturen (wenige Kelvin) die Hall-Spannung U_H geteilt durch den Strom I nicht beliebig variieren kann, wenn die Magnetfeldstärke variiert wird, sondern dass das Verhältnis in Stufen variiert. U_H / I ist z. B. an Grenz- oder Oberflächen unter den angegebenen Bedingungen immer ein ganzzahliger Bruchteil der von-Klitzing-Konstanten

$R_\mathrm{K} = \frac{h}{e^2} \equiv 25812, 807 \,\mathrm\Omega$  ^[8]

(in der Einheit Ohm=Volt/Ampere; h ist die plancksche Konstante, e die Elementarladung). Die angegebenen Stufenwerte für das Verhältnis U_H / I sind also: R_K, R_K / 2, R_K / 3 und so weiter. Die Genauigkeit, mit der diese Plateaus reproduziert werden können, ist so gut, dass R_K durch internationale Verträge als Standard für den elektrischen Widerstand festgelegt worden ist. Der Quanten-Hall-Effekt ist weitgehend verstanden. Klaus von Klitzing bekam für diese Entdeckung 1985 den Nobelpreis.

Verallgemeinerung: Spin-Hall-Effekt

Elektronen besitzen außer der elektrischen Elementarladung noch eine andere „elementare Eigenschaft“, nämlich den sog. „Spin“, eine Art Eigendrehimpuls, der nur die beiden Werte $\pm\frac{\hbar}{2}$ annimmt, wobei $\hbar$ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ist $\left( \hbar = \frac {h}{2 \pi} \right)$. Die Richtung des Spins ist wie bei Vektoren kontinuierlich und kann durch Magnetfelder beeinflusst werden. ^[9]

Wenn man also die gewöhnlichen Ströme (präzise: „Ladungsströme“) durch „Spinströme“ ersetzt, erhält man anstelle des „gewöhnlichen Hall-Effekts“ den sog. Spin-Hall-Effekt, der gegenwärtig, 2010, in der Physik sehr aktuell ist.

Im Einzelnen ist der Spin-Hall-Effekt ebenfalls, wie auch der gewöhnliche Hall-Effekt, proportional zur Longitudinalkomponente des elektrischen Feldes, also zur gewöhnlichen Stromstärke, und der erzeugte Spinstrom ist ebenfalls, analog zur gewöhnlichen Hall-Spannung U_H,  „quer“ gerichtet. Es besteht aber folgender wesentlicher Unterschied zum gewöhnlichen Hall-Effekt: Es wird gar kein magnetisches Feld benötigt, sondern der Spin-Hall-Effekt ergibt sich durch extrinsische Mechanismen (z. B. durch Störstellen) oder durch intrinsische Effekte (z. B. durch die sog. Spin-Bahn-Kopplung).

Planarer Hall-Effekt

Der sogenannte planare Hall-Effekt ist ein magnetoresistiver Effekt in ferromagnetischen Materialien, der trotz des Namens nichts mit dem gewöhnlichen Hall-Effekt zu tun hat. Der Hauptunterschied zum gewöhnlichen Hall-Effekt - und zugleich Grund für die Namensgebung - ist, dass in diesem Fall das Magnetfeld nicht senkrecht zur Probe, sondern in der Probe (also „planar“) verläuft, aber „quer“ zum longitudinalen Strom, wobei ebenfalls extrinsische und intrinsische Effekte unterschieden werden. Insofern ist der Spin-Hall-Effekt eher analog zum planaren Hall-Effekt als zum gewöhnlichen Hall-Effekt.

Literatur

• Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg, 5. Auflage 1980.
• P. Grosse: Freie Elektronen in Festkörpern. Springer 1979.
• C. M. Hurd: The Hall Effect in metals and alloys. Plenum 1972.
• E. H. Putley: The Hall Effect and related phenomena. Butterworth, London 1960.

Siehe auch

• Hall-Winkel

Weblinks

• Faksimile von Halls grundlegender Veröffentlichung: On a New Action of the Magnet on Electric Currents, American Journal of Mathematics, Band 2, 1879, S. 287-292
• The Hall Effect National Institute of Standards and Technology
• Edwin H. Hall: On Supraconductivity and the Hall Effect. PNAS 1933

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ Die Ladungsträgerdichte ist hier natürlich eine Volumendichte, Gesamtladung / {Länge mal Breite mal Höhe} der Probe (die „Höhe“ wird im Artikel auch als „Dicke“ bezeichnet und d genannt). Im Zusammenhang mit dem Quanten-Hall-Effekt, wo es nur um den Hall-Effekt an (zweidimensionalen!) sog. Hall-Streifen geht, ist die Ladungsträgerdichte dagegen eine Flächendichte, weil der Quotient ... / ( ... Höhe) fehlt; während gleichzeitig d durch 1 ersetzt wird (man könnte auch sagen: „Volumendichte mal d = Flächendichte“.
2. ↑ E. Hall: On a New Action of a Magnet on Electric Currents. In: American Journal of Mathematics. Bd.2, 1879, S. 287–292 (Originalarbeit, Abstact).
3. ↑ P. W. BRIDGMAN: BIOGRAPHICAL MEMOIR OF EDWIN HERBERT HALL 1855-1938. National Academy of Sciences, abgerufen am 12.März 2010 (pdf, englisch). 
4. ↑ Setzt man voraus, dass sich alle Ladungsträger gleich schnell bewegen und das Magnetfeld homogen ist, dann wird auf jeden Ladungsträger die gleiche Lorentzkraft ausgeübt. Im Gleichgewichtsfall ist dann die elektrische Kraft auf jeden Ladungsträger gleich groß wie die Lorentzkraft, sonst wäre es ja noch kein Gleichgewicht. Also sind die elektrischen Kräfte ja überall im Leiter gleich groß. Ein solches elektrisches Feld heißt homogen, dafür gilt die Formel, die auch für den Plattenkondensator gilt und mit diesem verbunden wird.
5. ↑ Martin Tajmar: Advanced space propulsion systems. Springer, Wien 2003, ISBN 3-211-83862-7, S.75 ff.
6. ↑ Das Hall-Triebwerk Physikalisches Institut der JLU Gießen (zugriff=12.März 2010)
7. ↑ Károly Simonyi: Kulturgeschichte der Physik. Harri Deutsch, Thun, Frankfurt a. M. 1995, ISBN 3-8171-1379-X., S. 479
8. ↑ Mit den angegebenen Ziffern ist derzeit, 2010, die Konstante R_K festgelegt. Vielleicht kann man sie in späteren Jahren noch genauer bestimmen.
9. ↑ Es bestehen jedoch mathematische Unterschiede: Anstelle von „Spin-Vektoren“ spricht man im Zusammenhang mit dem Spin von „Spinoren“, weil eine Vektordrehung um einen Winkel α zu einer „Spinordrehung“ um den halben Winkel führt.