Hamiltonfunktion

Die Hamilton-Funktion \mathcal H(t,q,p) (nach William Rowan Hamilton) eines Systems von Teilchen ist seine Energie als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen. Sie hängt von der Zeit t, den generalisierten Koordinaten q=(q^1,q^2\dots q^n) und den generalisierten Impulsen p=(p_1,p_2\dots p_n) ab. (Wir zählen die Ortskoordinaten, wie bei kontravarianten Größen üblich, mit oben stehenden Zahlen ab.)

Bei einem Teilchen der Masse m, das sich nichtrelativistisch in einem Potential V bewegt, setzt sie sich aus kinetischer und potentieller Energie zusammen

\mathcal H(t,\mathbf q,\mathbf p)=\frac{\mathbf p^2}{2\,m}+V(\mathbf q)\,.

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung

E^2-\mathbf p^2\,c^2=m^2\,c^4

ist die Hamilton-Funktion

\mathcal H(t,\mathbf q,\mathbf p)=\sqrt{m^2\,c^4+ \mathbf p^2\,c^2}\,.

Wenn die Hamiltonfunktion wie in diesen Beispielen nicht von der Zeit abhängt, behält das System von Teilchen seine anfängliche Energie, sie ist dann eine Erhaltungsgröße.

Die Hamiltonfunktion ist die Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion \mathcal L(t,q,\dot q), die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten \dot q=(\dot q^1,\dot q^2\dots \dot q^n) abhängt,

\mathcal H(t,q,p)= \sum_{k=1}^n \dot q^k\, p_k - \mathcal L(t, q,\dot q)\,.

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten  \dot q diejenigen Funktionen  \dot q(t,q,p) gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der Impulse

 p_k = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q^k}

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Beispielsweise hängt beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion

\mathcal L= - m\,c^2 \sqrt{1-\dot \mathbf q^2/c^2}

der Impuls gemäß

\mathbf p=\frac{m \dot \mathbf q}{\sqrt{1-\dot \mathbf q^2/c^2}}

von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

\dot\mathbf q=\frac{\mathbf p\,c^2}{\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}}

des Impulses.

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und Teilchenimpulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

\dot q^k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}\ ,\quad  \dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q^k} \,.

Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch sogenannte kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für \mathcal H(t,q,p) als Funktion von Operatoren q und p liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

siehe:Hamiltonsche Mechanik


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