Allan-Varianz

Die Allan-Varianz, benannt nach David W. Allan, stellt ein Maß für die Stabilität von Uhren und Oszillatoren dar. Sie ist auch als Zweiwert-Varianz bekannt. Sie ist definiert als die Hälfte des Durchschnitts der Differenzquadrate jeweils zweier aufeinanderfolgender Messwerte der Frequenzabweichung.

Die Allan-Varianz hängt von der zeitlichen Auflösung der Messdatenerfassung ab. Sie ist damit eine Funktion sowohl der Sample-Periode, als auch der gemessenen Verteilung, und wird in der Regel eher als Graph dargestellt, denn als einzelner Wert.

Eine geringe Allan-Varianz ist ein Merkmal einer Uhr mit hoher Stabilität über den gemessenen Zeitraum.

Die Allan-Varianz ist definiert als

\sigma_y^2(\tau) = \frac{1}{2} \langle(y_{n+1} - y_n)^2\rangle,

wobei yn die normierte Frequenzabweichung ist, gemittelt über die Sample-Periode n. τ ist dabei deren Dauer.

y_n = \left\langle{\delta\nu \over \nu}\right\rangle_n,

wobei ν die Frequenz und δν die Frequenzabweichung ist. Der Durchschnitt wird dabei über die Sample-Periode n gebildet. Für eine Uhr ist die Zeitabweichung xn bei der Sample-Periode n gegeben durch die Summe der vorangegangenen Frequenzabweichungen

x_n = x_0 + \tau \sum_{i=0}^{n-1} y_i.

Dies kann umgekehrt werden, um Frequenzabweichungen aus Zeitabweichungen zu ermitteln:

y_n = \frac{1}{\tau } ( x_{n+1} - x_n )

Dies führt zur Formel für die Allan-Varianz als Zeitabweichung:

\sigma_y^2(\tau) = \frac{1}{2 \tau^2} \langle(x_{n+2} - 2 x_{n+1} + x_n)^2\rangle.

Genau wie bei Deviation (Standardabweichung) und Varianz ist die Allan-Deviation definiert als Quadratwurzel der Allan-Varianz.

Die Allan-Varianz wird als Maß der Frequenzstabilität für eine Vielzahl teils exotischer Präzisions-Oszillatoren verwandt, wie zum Beispiel frequenzstabilisierter Laser. Es existieren auch einige Varianten, allen voran die modifizierte Allan-Varianz, die totale Varianz und die Hadamard-Varianz. Ein anderes Maß für die Frequenzstabilität ist das Phasenrauschen.

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