Allmenge

Die Allklasse bezeichnet die Klasse, die alle Elemente einer mathematischen Theorie enthält; in der Mengenlehre ist das die Klasse aller Mengen. Die Allklasse wird heute präzise definiert durch die Eigenschaft x = x, die alle Elemente erfüllen, also als die Klasse {x | x = x}.

Die Allklasse wurde schon von Georg Cantor als „System aller denkbaren Klassen“ gebildet. Er zeigte 1899 mit einem indirekten Beweis, dass die Allklasse keine Menge ist: Wäre nämlich die Allklasse eine Menge, dann wäre die Potenzmenge der Allklasse eine Teilmenge der Allklasse und damit keine mächtigere Menge, wie es Cantors zweites Diagonalargument verlangt.[1] Dieser Widerspruch wird auch als Cantorsche Antinomie bezeichnet. Er zeigt, dass es keine Allmenge oder Menge aller Mengen gibt, sondern dass diese Mengenbildung der naiven Mengenlehre widersprüchlich ist. Sein Beweis belegt zugleich, dass Cantor keine derartige naiv-widersprüchliche Mengenvorstellung hatte, was wegen Cantors Mengendefinition oft behauptet wird. Cantor trennte schon Mengen als konsistente Vielheiten von inkonsistenten Vielheiten, [2] die heute echte Klassen heißen. Die Allklasse ist also ein sehr einfaches Beispiel einer echten Klasse.

Die Allklasse ist zu unterscheiden von der Russellschen Klasse, die bei der Einstufung als Menge die Russellsche Antinomie erzeugt. Beide Klassen fallen erst bei der Annahme des Fundierungsaxioms zusammen; dieses stammt aus der axiomatischen Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die die naive Mengenlehre ablöste; in ihr gibt es daher keine Allmenge. Auch in anderen axiomatischen Mengenlehren mit Fundierung, etwa in der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre gibt es keine Allmenge, aber wohl die Allklasse als Nichtelement. In der allgemeinen Klassenlogik kann die Allklasse widerspruchsfrei gebildet werden; sie ist immer eine echte Klasse, muss aber nicht unbedingt ein Nichtelement sein.

Einzelnachweise

  1. Brief von Cantor an Dedekind vom 31.8.1899, in: Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, ed. E. Zermelo, Berlin 1932, S. 448
  2. Brief von Cantor an Dedekind vom 28.6.1899, in: Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, ed. E. Zermelo, Berlin 1932, S. 443

Siehe auch

Literatur

  • Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wiss.-Verl., Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1.

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