Heisenberg-Algebra

Heisenberg-Algebra

Die Heisenberg-Algebra ist eine 3-dimensionale, reelle Lie-Algebra mit den Generatoren P, Q, R, für die gilt

[P,Q] = R
[P,R] = [Q,R] = 0

Sie ist die Lie-Algebra der Heisenberggruppe.

Darstellung

Man kann die Heisenberg-Algebra als Algebra von Matrizen darstellen, indem man definiert


P = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}, \quad R = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}

und als Lie-Klammer den Kommutator von Matrizen [X,Y] = XYYX verwendet.

Verallgemeinerung

Entsprechend den verallgemeinerten Heisenberggruppen gibt es auch verallgemeinerte Heisenbergalgebren, die Lie-Algebren der verallgemeinerten Heisenberggruppen.


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