Alpha-stabile Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind X_1,X_2, \ldots, X_n, X unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt

X_1+X_2+ \dotsb+X_n \sim c_n X für alle  n \in \mathbb{N} und eine Folge  (c_n)_{n\in \N},

so nennt man X stabil verteilt, wobei als "hat dieselbe Verteilung wie" zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl  c_n=n^{1/\alpha}, \alpha \in (0,2] ist. Die reelle Zahl α nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy stabile Verteilungen.

Beispiele

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes α des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:

X_1, X_2, \ldots, X_n \sim \mathcal{N} (0,\sigma^2) \Rightarrow \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{N} (0,n \sigma^2) \sim n^{1/2} \mathcal{N} (0,\sigma^2). Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter α = 2.
X_1, X_2, \ldots, X_n \sim {\rm Cauchy} (0,a) \Rightarrow \sum_{i=1}^n X_i \sim n \, {\rm Cauchy} (0,a)
sie ist also stabil mit Formparameter α = 1.

Eigenschaften

\psi_{\alpha, \beta}(u)=\exp\left(-|u|^\alpha \left(1-i \beta \tan\left(\frac{\pi \alpha}{2}\right) \sgn(u)\right)\right)

Der Parameter \beta \in [-1,1] ist hierbei frei wählbar und heißt Schiefeparameter.


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