Hom (Mathematik)

In der Kategorientheorie bezeichnet $\operatorname{Hom}_C(A,B)$ (oder einfach $\operatorname{Hom}(A,B)$, wenn der Bezug zur Kategorie klar ist) die Menge der Homomorphismen (oder Morphismen) von einem Objekt A zu einem Objekt B einer Kategorie C und zählt somit zu den grundlegenden Daten einer Kategorie. Wenn beispielsweise die Objekte der Kategorie aus „Mengen mit zusätzlichen Eigenschaften“ bestehen (z. B. Gruppen, topologische Räume), so sind die zugehörigen Morphismen i. a. genau die mit diesen Eigenschaften verträglichen Abbildungen (z. B. Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen).

Hom als Funktor

Man kann $\operatorname{Hom}$ jedoch auch auffassen als Abbildung, die jedem Paar (A,B) von C-Objekten eine Menge $\operatorname{Hom}(A,B)$ zuordnet. Man hat jedoch noch mehr: Ist $f\colon A'\to A$ ein C-Morphismus, also ein Element von $\operatorname{Hom}(A',A)$, so kann man jedem $h \in \operatorname{Hom}(A,B)$ den Homomorphismus $h\circ f \in \operatorname{Hom}(A',B)$ zuordnen und erhält so eine Abbildung

$\operatorname{Hom}(f,B)\colon \operatorname{Hom}(A,B)\to \operatorname{Hom}(A',B).$

Ebenso erhält man zu einem Homomorphismus $g\in \operatorname{Hom}(B,B')$ eine Abbildung

$\operatorname{Hom}(A,g)\colon \operatorname{Hom}(A,B)\to \operatorname{Hom}(A,B'),$

indem man h auf $g\circ h$ abbildet. Kombiniert erhält man eine Abbildung

$\operatorname{Hom}(f,g)\colon \operatorname{Hom}(A,B)\to \operatorname{Hom}(A',B').$

Man verifiziert leicht die folgenden Eigenschaften:

• $\operatorname{Hom}(\operatorname{id}_A,\operatorname{id}_B) = \operatorname{id}_{\operatorname{Hom}(A,B)}$, wobei $\operatorname{id}_A$ usw. die Identität des jeweiligen Objektes bezeichnet.
• $\operatorname{Hom}(f,g) \circ \operatorname{Hom}(f',g') = \operatorname{Hom}(f'\circ f,g\circ g')$, soweit die Verknüpfungen definiert sind (d. h. entsprechende Definitions- und Zielbereiche übereinstimmen).

In der kategorientheoretischen Sprache kann man dies unter Verwendung der Begriffe der dualen Kategorie und der Produktkategorie so ausdrücken:

$\operatorname{Hom}$ ist ein Funktor von $C^{op}\times C$ in die Kategorie Set der Mengen. Man beachte: Objekte von $C^{op}\times C$ sind Paare (A,B) von C-Objekten, Morphismen von (A,B) nach (A',B') sind Paare (f,g) von Morphismen, wobei $g \in \operatorname{Hom}_C(B,B')$ und $f \in \operatorname{Hom}_{C^{op}}(A,A') = \operatorname{Hom}_C(A',A)$ ist, und es ist $(f,g) \circ (f',g') = (f'\circ f,g\circ g')$, soweit definiert.

Insbesondere haben wir dann zu einem festen Objekt $A \in \operatorname{Ob}(C)$ einen kovarianten Funktor $\operatorname{Hom}(A,-)$ und einen kontravarianten Funktor $\operatorname{Hom}(-,A)$ von C nach Set.

Verträglichkeit mit Zusatzstrukturen

Im allgemeinen ist $\operatorname{Hom}(A,B)$ lediglich eine Menge und trägt selbst nicht automatisch eine zusätzliche Struktur, abgesehen etwa davon, dass die Endomorphismen $\operatorname{End}(A):=\operatorname{Hom}(A,A)$ unter Komposition ein Monoid mit $\operatorname{id}_A$ als neutralem Element bilden. Sind jedoch beispielsweise die Objekte von C abelsche Gruppen oder R-Moduln für einen Ring R, so können Homomorphismen punktweise addiert und/oder mit Elementen aus R multipliziert werden, und somit bildet $\operatorname{Hom}(A,B)$ dann selbst eine abelsche Gruppe bzw. einen R-Modul. Man überprüft dann unmittelbar, dass die oben definierten Zuordnungen hiermit verträglich sind und dass somit $\operatorname{Hom}$ in diesen Fällen sogar als Funktor in die Kategorie Ab der abelschen Gruppen bzw. die Kategorie R-Mod der R-Moduln aufgefasst werden kann.

Je nach betrachteter Kategorie C sind weitere solche Zusatzstrukturen auf $\operatorname{Hom}(A,B)$ möglich. Weist man auch dort die Verträglichkeit der Zuordnungen nach, ist also wiederum gerechtfertigt, $\operatorname{Hom}$ als Funktor in eine entsprechend aussagekräftigere Kategorie aufzufassen.

Anwendungen

Bei der Untersuchung abelscher Kategorien spielt auch der Ext-Funktor, der abgeleitete Funktor zu Hom, eine wichtige Rolle.