- Homomorphismus
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Ein Homomorphismus (aus dem Griechischen, homós für ‹gleich› und morphé für ‹Form›; nicht zu verwechseln mit Homöomorphismus), ist eine strukturerhaltende Abbildung.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Es seien (A,(fi)) und (B,(gi)) zwei algebraische Strukturen vom gleichen Typ und σi bezeichne für jedes i die Stelligkeit der Verknüpfungen fi und gi. Eine Abbildung ist dann ein Homomorphismus bezüglich der Struktur von (A,(fi)) und (B,(gi)), wenn für jedes i und für alle gilt:
Beispiele
Einfaches Beispiel
Wählt man sowohl für die Verknüpfung fi als auch für gi die Addition, dann folgt, dass die Stelligkeit σi = 2 ist, da die Addition zwei Objekte miteinander verknüpft. Es muss in diesem Fall dann für nur die folgende Relation gelten:
Ändert man an dem bisherigen Beispiel die zweite Verknüpfung gi von der Addition zu etwas anderem wie etwa der Multiplikation, dann wird klar, weswegen man den Homomorphismus mit zwei unterschiedlichen Verknüpfungen definiert hat. Damit dann ein Homomorphismus zwischen den Strukturen (A,( + )) und ist, muss dann gelten:
Weiteres Beispiel zur Erläuterung der Definition
Weil es nicht nur Verknüpfungen gibt, die nur auf zwei Variablen wirken, ist es sinnvoll, eine Definition für Verknüpfungen zu verwenden, die beliebig viele Variablen miteinander verknüpfen. Ein sehr einfaches Beispiel zur Verknüpfung von drei oder mehr Variablen ist ein Vektor mit festgelegter Dimension. Die Dimension des Vektors ist hier die Stelligkeit der Verknüpfung. Es wird nun für fi die Verknüpfung zum Spaltenvektor und für gi die Verknüpfung zum Zeilenvektor gewählt. Einen Homomorphismus auf den hierdurch definierten Strukturen stellt nun dar, wenn das folgende gilt:
Ein Homomorphismus gegenüber diesen Strukturen wäre beispielsweise cT, wobei c eine Konstante ist und T ein Operator, der den Vektor transponiert.
Bemerkung
Homomorphismen lassen sich allgemeiner als spezielle Morphismen, also strukturverträgliche Abbildungen, definieren. Der Begriff des Morphismus wird wiederum in der Kategorientheorie noch allgemeiner gefasst, diese beiden Morphismus-Begriffe unterscheiden sich hinsichtlich ihrer Eigenschaften und sind nicht austauschbar.
Homomorphismen in einigen algebraischen Strukturen
Beispiele für solche Strukturen sind die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung und dem neutralen Element 0 oder der Körper der reellen Zahlen mit der Addition und Multiplikation.
Gruppenhomomorphismus
Eine Abbildung heißt Gruppenhomomorphismus zwischen den Gruppen und wenn für alle gilt:
Damit lässt sich für einen Gruppenhomomorphismus φ leicht zeigen, dass
denn es gilt
- Also ist das neutrale Element in B.
Für alle ist das Inverse zu φ(a), d. h.
denn es gilt
Ringhomomorphismus
Es seien und Ringe und eine Abbildung. φ heißt Ringhomomorphismus genau dann, wenn
- für alle (d. h. φ ist ein Gruppenhomomorphismus von nach ),
- für alle
Besitzen und jeweils ein Einselement 1R sowie 1S, so muss ein Ringhomomorphismus φ zusätzlich erfüllen:
Wenn x invertierbar ist, dann ist
Ist ein Ringhomomorphismus, so ist der Kern von φ
ein Ideal in R.
φ ist genau dann injektiv, wenn der Kern trivial ist, d. h. nur die Null enthält.
Wenn R ein Körper ist, dann sind {0} und R die einzigen Ideale in R, und damit ist ein Homomorphismus entweder injektiv oder die Nullabbildung.
Körperhomomorphismus
Ein Ringhomomorphismus zwischen zwei Körpern wird auch Körperhomomorphismus genannt.
K-Homomorphismus
Sind L / K und L' / K zwei Körpererweiterungen und ist der Körperhomomorphismus eine Fortsetzung der Identität auf K, so nennt man φ einen K-Homomorphismus.
Vektorraumhomomorphismus
Homomorphismen von Vektorräumen werden auch als lineare Abbildungen bezeichnet. Sie bilden die Grundlage der linearen Algebra.
Weitere Begriffe
Universelle Algebra
Ein Homomorphismus φ heißt:
- Epimorphismus, wenn φ surjektiv ist.
- Monomorphismus, wenn φ injektiv ist.
- Isomorphismus, wenn φ bijektiv.
- Endomorphismus auf A, wenn (φ bildet A in sich selbst ab).
- Automorphismus auf A, wenn (Endomorphismus) und φ bijektiv (Isomorphismus) ist.
Kategorientheorie
Ein Morphismus φ heißt:
- Retraktion, wenn es einen Homomorphismus ψ gibt, so dass ist.
- Schnitt, wenn es einen Homomorphismus ψ gibt, so dass ist.
- Epimorphismus, wenn φ rechtskürzbar ist.
- Monomorphismus, wenn φ linkskürzbar ist.
- Bimorphismus, wenn φ ein Epimorphismus und Monomorphismus ist.
- Isomorphismus, wenn φ Retraktion und Schnitt ist.
- Endomorphismus auf A, wenn φ von A nach A abbildet.
- Automorphismus auf A, wenn ein Isomorphismus ist.
Weblinks
Wiktionary: Homomorphismus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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