Homoskedastizität und Heteroskedastizität

Homoskedastizität: Die Streuung der Punkte um die Gerade in vertikaler Richtung ist konstant.

Heteroskedastizität: Hier wird die Streuung der Punkte um die Gerade nach rechts hin größer.

Heteroskedastizität: Die Streuung der Punkte um die Gerade wächst nach rechts hin stärker als linear an.

Heteroskedastizität (auch (Residuen)-Varianzheterogenität) bedeutet in der Statistik unterschiedliche Streuung innerhalb einer Datenmessung. Wenn die Varianz der Residuen (und somit die Varianz der erklärten Variablen selbst) für alle Ausprägungen der anderen (Prädiktor)-Variablen nicht signifikant unterschiedlich ist, liegt Homoskedastizität ((Residuen-)Varianzhomogenität) vor. Der Begriff spielt insbesondere in der Ökonometrie und der empirischen Forschung eine wichtige Rolle.

Vorkommen

Häufig werden in der Statistik Methoden angewendet, bei denen mehrere gleichartige Merkmale eine Rolle spielen. Beispielsweise hat man in der Regressionsanalyse eine Menge von Datenpunkten gegeben, in die eine Gerade möglichst passgenau eingelegt wird. Die Abweichungen der Datenpunkte von der Geraden werden Störterme oder Residuen genannt und sind wahrscheinlichkeitstheoretisch jeweils Zufallsvariablen. Haben diese Störterme alle die gleiche Varianz, liegt Homoskedastizität vor.

Wenn diese Störterme allerdings nicht die gleiche Varianz aufweisen, führt die einfache Kleinstquadratmethode nicht zu effizienten Schätzwerten für die Regressionskoeffizienten. Dies bedeutet, dass diese Schätzwerte nicht die kleinstmögliche Varianz aufweisen. Außerdem ist dann eine naive Anwendung des t-Tests nicht möglich; die t-Werte sind nicht mehr brauchbar. Abhilfe schafft in vielen Fällen eine geeignete Datennormalisierung: Herrscht Heteroskedastizität, kann es durchaus sinnvoll sein, die Daten mittels Anwendung des Logarithmus oder der Quadratwurzel zu transformieren, um Homoskedastizität zu erreichen. Diese führt dann zur korrekten Verwendung des Gauss-Markov-Theorems.

Folgen von Heteroskedastizität bei linearer Regression

• die erste OLS-Annahme bleibt erfüllt, also korreliert die exogene Variable trotzdem nicht mit dem Residuum
• die exogene und die endogene Variable sind nicht mehr identisch verteilt, was zur Folge hat, dass die OLS-Schätzer nicht mehr effizient sind und der Standardfehler der Koeffizienten verzerrt und inkonsistent wird (deswegen müssen die Standardfehler bei Heteroskedastizität auf eine andere Art berechnet werden)

Beispiel

Ein typisches Beispiel für Heteroskedastizität ist, wenn bei einer Zeitreihe die Abweichungen von der Trendgeraden mit Fortlauf der Zeit steigen (z. B. für die Treffgenauigkeit bei der Wettervorhersage: je weiter in der Zukunft, desto unwahrscheinlicher ist eine genaue Prognose). Allerdings können auch in Zeitreihen ohne konstante Varianz bestimmte charakteristische Auffälligkeiten wie z. B. Volatilitätscluster beobachtet werden. Deshalb wurde im Rahmen von Volatilitätsmodellen versucht, dem Verlauf der Varianz eine systematische Erklärung zu Grunde zu legen.

Testverfahren

Bekannte Verfahren, um die Nullhypothese „Homoskedastizität“ zu überprüfen, sind der Goldfeld-Quandt-Test, der White-Test, der Levene-Test, der Glejser-Test und der Breusch-Pagan-Test (siehe englische Wikipedia: Breusch-Pagan statistic).