Hoover-Index

Die Hoover-Ungleichverteilung ist der direkteste und einfachste aller Ungleichverteilungkoeffizienten. Er beschreibt die relative Abweichung vom Mittelwert. Er ist „direkt“, weil er zum Beispiel bei einer Ungleichverteilung von Geld einfach den Anteil des gesamten Geldes beschreibt, der umverteilt werden müsste, um aus einer Ungleichverteilung eine Gleichverteilung zu machen. Andere Bezeichnungen für die Hoover-Ungleichverteilung sind „Hoover-Koeffizient“, „Hoover-Index“, „Balassa-Hover-Index“, „Hoover concentration index“ und „Segregations- und Dissimilaritätsindex“.

Rechenbeispiel

Die Hoover-Ungleichverteilung lässt sich - wie der Gini-Koeffizient - für Einkommensverteilungen, für Vermögensverteilungen und andere Verteilungen berechnen. Wie man die Hoover-Ungleichverteilung berechnet, zeigt das folgende Beispiel anhand der Verteilung eines „Gesamtvermögens“ von etwa 10 Billionen Deutschen Mark in Deutschland (1995)^[1]:

50 Prozent der Bevölkerung (A1) besaß  2,5 Prozent des Vermögens (E1).
40 Prozent der Bevölkerung (A2) besaß 47,5 Prozent des Vermögens (E2).
 9 Prozent der Bevölkerung (A3) besaß 27,0 Prozent des Vermögens (E3).
 1 Prozent der Bevölkerung (A4) besaß 23,0 Prozent des Vermögens (E4).

In einem ersten Schritt werden die Daten „normalisiert“ dargestellt (E_gesamt=A_gesamt=1):

A1 = 0,50     E1 = 0,025
A2 = 0,40     E2 = 0,475
A3 = 0,09     E3 = 0,270
A4 = 0,01     E4 = 0,230

Im zweiten Schritt werden die absoluten Differenzen aufsummiert:

abs(E1 - A1) = 0,475
abs(E2 - A2) = 0,075
abs(E3 - A3) = 0,180
abs(E4 - A4) = 0,220
       Summe = 0,950

Die Hälfte der Summe ist die Hoover Ungleichverteilung:

Hoover Ungleichverteilung: Summe/2 = 0,475 = 47,5%

Andere Ungleichverteilungsmaße „interpretieren“ Ungleichverteilungen. Ein Beispiel sind einige Entropiemaße (z.B. nach Theil, Atkinson, Kullback und Leibler usw.), die Bezug zu Gleichverteilungen von Zustandsgrößen in der statistischen Physik nehmen. Der Hoover-Koeffizient ist dagegen sehr einfach zu verstehen und zu berechnen. Er beschreibt direkt den Anteil einer ungleichverteilten Ressource, der umverteilt werden müsste, sollte eine Gleichverteilung dieser Ressource erzielt werden. Im Beispiel hätten also 47,5% des Vermögens umverteilt werden müssen, wenn Alle gleich viel hätten besitzen sollen. (Die Ungleichverteilung innerhalb der vier durch Quantile mit unterschiedlichem Abstand abgegrenzten Bereiche mit unterschiedlicher Breite wäre dabei allerdings unberücksichtigt geblieben.)

Der Wertebereich dieses relativen Ungleichsverteilungsmaßes liegt zwischen 0 und 1 (bzw. zwischen 0% und 100%). Die Hoover-Ungleichverteilung gehört in die Gruppe der Konzentrationsmaße.

Formel

Die vollständige Formel der Hoover-Ungleichverteilung lautet:

$H = {\frac{1}{2}} \sum_{i=1}^N \color{Blue} \left| \color{Black} {\frac{{E}_i}{{E}_\text{gesamt}}} - {\frac{{A}_i}{{A}_\text{gesamt}}} \color{Blue} \right| \color{Black}.$

In der Formel wird eine Notation^[2] verwendet, in der die Anzahl N der mit Quantilen (mit gleichem ofer unterschiedlichen Abstand) abgegrenzten Bereiche (mit gleicher oder unterschiedlicher Breite) in den Formeln nur als obere Grenze der Summenbildung erscheint. Damit können auch Ungleichverteilungen berechnet werden, bei denen die Bereiche eine unterschiedliche Breite A haben: E_i sei das Einkommen im i-ten Bereich und A_i sei die Anzahl (oder der prozentuale Anteil) der Einkommensbezieher im i-ten Bereich. E_gesamt sei die Summe der Einkommen aller N Bereiche und A_gesamt sei die Summe der Einkommensbezieher aller N Bereiche (oder 100%). (Natürlich sind auch andere Zuordnungen möglich: Beispielsweise kann E auch Vermögen repräsentieren. Oder E steht für eine Art von Molekülen in einem Gemisch und A für eine andere Art von Molekülen.)

In der Hoover-Ungleichverteilung werden die einzelnen Abweichungen von der Parität nur mit ihrem eigenen Vorzeichen (also dem Faktor +1 oder -1) gewichtet. Zum Vergleich^[3] betrachte man den symmetrierten Theil-Index T_s. Im Theil-Index werden die einzelnen Abweichungen von der Parität mit ihrem eigenen Informationsgehalt gewichtet:

$T_s = {\frac{1}{2}} \sum_{i=1}^N \color{Blue} \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}} \left( \color{Black} {\frac{{E}_i}{{E}_\text{gesamt}}} - {\frac{{A}_i}{{A}_\text{gesamt}}} \color{Blue} \right) \color{Black}.$

Anmerkungen

1. ↑ SPD-Bundestagsfraktion, Bundestagsdrucksache 13/7828
2. ↑ Die Notation mit E und A folgt der Notation einer kleinen Formelsammlung von Lionnel Maugis: Inequality Measures (png) in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (für IFORS 96), 1996
3. ↑ Die Hoover-Ungleichverteilung ist mit dem symmetrierten Theil-Index verwandt: Der symmetrierte Theil-Index ist die nicht-interpretative Ungleichverteilung gewichtet mit dem Informationsgehalt dieser Ungleichverteilung. Die Hoover-Ungleichverteilung ist eine reine nicht-interpretative Ungleichverteilung.

Literatur

• Edgar Malone HOOVER jr.: The Measurement of Industrial Localization, Review of Economics and Statistics, 1936, Vol. 18, No. 162-171
• Edgar Malone HOOVER jr.: An Introduction to Regional Economics, 1984, ISBN 0075544407
• Philip B. COULTER: Measuring Inequality, 1989, ISBN 0-8133-7726-9 (In diesem Buch werden etwa 50 Ungleichverteilungsmaße beschrieben.)

Siehe auch

• Tabellenkalkulation für den Gini-Koeffizienten, die Hoover-Ungleichverteilung und den Theil-Index
• Theil-Index
• Genuine Progress Indicator
• Human Development Index
• Index of Sustainable Economic Welfare
• Wohlfahrtsfunktion
• Liste der Länder nach Einkommensverteilung
• Liste der Länder nach Vermögensverteilung

Weblinks

• Rechner: on-line und downloadbare Skripte und Macros (für Python, Lua und OpenOffice.org 2.0 Calc)