Alternativität

Alternativität ist eine Abschwächung des Assoziativgesetzes.

Definition

Eine Verknüpfung · heißt alternativ, wenn die beiden unten stehenden Aussagen gelten:

$o \cdot ( o \cdot p ) = ( o \cdot o ) \cdot p$

und

$o \cdot ( p \cdot p ) = ( o \cdot p ) \cdot p.$

Bedeutung

Ist eine Verknüpfung assoziativ, kann man die Klammern in drei- und mehrgliedrigen Ausdrücken weglassen: $(o \cdot q) \cdot p = o \cdot (q \cdot p) = o \cdot q \cdot p$

Gilt das Assoziativgesetz nicht mehr, müssen alle Klammern stehen bleiben. Gilt die Alternativität, kann man die Klammern wenigstens dann weglassen, wenn q=o oder wenn q=p. Insbesondere lassen sich gleiche Faktoren zu Potenzen zusammenfassen. Das heißt, dass es möglich ist, Produkte der Art $(a \cdot a) \cdot ((a \cdot a) \cdot b)$ zusammenzufassen zu $a^4 \cdot b$ .

Beispiele

• Die Multiplikation der Oktonionen ist alternativ.
• Jede assoziative Verknüpfung ist automatisch alternativ.

Siehe auch

• Alternativkörper
• Oktonionen
• Quasigruppe