Alternativität

Alternativität ist eine Abschwächung des Assoziativgesetzes.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine Verknüpfung · heißt alternativ, wenn die beiden unten stehenden Aussagen gelten:

 o \cdot ( o \cdot p ) = ( o \cdot o ) \cdot p

und

 o \cdot ( p \cdot p ) = ( o \cdot p ) \cdot p.

Bedeutung

Ist eine Verknüpfung assoziativ, kann man die Klammern in drei- und mehrgliedrigen Ausdrücken weglassen:  (o \cdot q) \cdot p = o \cdot (q \cdot p) = o  \cdot q \cdot p

Gilt das Assoziativgesetz nicht mehr, müssen alle Klammern stehen bleiben. Gilt die Alternativität, kann man die Klammern wenigstens dann weglassen, wenn q=o oder wenn q=p. Insbesondere lassen sich gleiche Faktoren zu Potenzen zusammenfassen. Das heißt, dass es möglich ist, Produkte der Art (a \cdot a) \cdot ((a \cdot a) \cdot b) zusammenzufassen zu  a^4 \cdot b .

Beispiele

  • Die Multiplikation der Oktonionen ist alternativ.
  • Jede assoziative Verknüpfung ist automatisch alternativ.

Siehe auch


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