Alternierende Multilinearform

Eine p-Multilinearform ω ist in der Mathematik eine Funktion, die p Argumenten v_i \in V_i,\; i\in\{1,\ldots,p\}aus K-Vektorräumen V_1, \ldots, V_p einen Wert \omega(v_1,\ldots,v_p) \in K zuordnet und in jeder Komponente linear ist.

Inhaltsverzeichnis

Multilinearformen

Eine Abbildung

\omega: V_1\times \cdots \times V_p \rightarrow K\ ,\ (v_1,\ldots,v_p) \mapsto \omega\left(v_1,\dots,v_p\right) ,

welche für alle v_j \in V_j, j \in \{1, \ldots, p\}, \lambda,\mu \in K und w_i \in V_i für festes, beliebiges i \in \{1, \ldots, p\}

\omega\left(v_1,\ldots,\lambda \;v_i+\mu \;w_i,\ldots,v_p\right) = \lambda \;\omega\left(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_p\right)+\mu\;\omega\left(v_1,\ldots,w_i,\ldots,v_p\right)

erfüllt, heißt multilineare Abbildung. Die Menge aller multilinearen Abbildungen \mathcal{J}^p(V_1, \ldots, V_p) bildet einen K-Vektorraum. Im Fall V_1 = \cdots = V_p =: V schreibt man \mathcal{J}^p(V) := \mathcal{J}^p(V, \ldots, V).

Alternierende Multilinearformen

Eine Multilinearform \omega \in \mathcal{J}^p(V) heißt alternierende Multilinearform, falls sie bei Vertauschung von je zwei Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, d.h.

\omega\left(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_p\right)= -\omega\left(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_p\right)

für alle v_k \in V,\; k \in \{1,\ldots,p\} und i,j \in \{1,\ldots,p\},\; i \neq j.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen Ωp(V) ist ein Unterraum von \mathcal{J}^p(V).

Wichtig ist der Spezialfall \ p = \dim V. Dann ist \ \Omega^p(V) ein 1-dimensionaler Unterraum von \mathcal{J}^p(V), und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

Beispiele

1. Linearformen (Skalarprodukt mit vorgegebenem Vektor) sind genau die 1-Multilinearformen.
2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen.
3. Bildet man aus n Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also ω definiert durch
\omega\left(v_1,v_2,v_3\right):= 
\det\begin{pmatrix}
v_{1x} & v_{2x} & v_{3x} \\ 
v_{1y} & v_{2y} & v_{3y} \\ 
v_{1z} & v_{2z} & v_{3z}
\end{pmatrix}
eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren v1,v2,v3 folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:

v_1=\begin{pmatrix}
v_{1x} \\
v_{1y} \\
v_{1z}
\end{pmatrix}
,\quad\quad

v_2=\begin{pmatrix}
v_{2x} \\
v_{2y} \\
v_{2z}
\end{pmatrix}
,\quad\quad

v_3=\begin{pmatrix}
v_{3x} \\
v_{3y} \\
v_{3z}
\end{pmatrix}

 .
4. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume Vi identisch sind (also Vi = V), ist die p-Multilinearform auch ein kovarianter Tensor p-ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden p-Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren p-ter Stufe.

Verallgemeinerung

Es seien Moduln B,A_1 , \ldots , A_n über einem kommutativen Ring R gegeben. Eine Abbildung m : A_1 \times \cdots \times A_n \to B heißt multilineare Abbildung, wenn sie in jeder Komponenten linear ist, d.h., für alle i \in \{1,\cdots,n\} und alle a_j \in A_j , j \neq i ist

A_i \to B ,~ a_i \mapsto m(a_1,\dots,a_i,\dots,a_n)

ein R-Modulhomomorphismus.

Multilinearformen sind spezielle multilineare Abbildungen, für die nämlich R ein Körper und B = R ist.

Multilineare Abbildungen werden benötigt, um das Tensorprodukt mittels der folgenden universellen Eigenschaft zu definieren, und sie werden damit zugleich klassifiziert: Für jede multilineare Abbildung A_1 \times \cdots \times A_n \to B gibt es genau einen Homomorphismus A_1 \otimes_R \cdots \otimes_R A_n \to B, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Universelle Eigenschaft des Tensorproduktes

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