Hyperbolische Funktion
Sinus Hyperbolicus (rot), Kosinus Hyperbolicus (grün), Tangens Hyperbolicus (blau)
Kosekans Hyperbolicus (rot), Sekans Hyperbolicus (grün), Kotangens Hyperbolicus (blau)

Zu den Hyperbelfunktionen gehören:

abgekürzt durch sinh, cosh, tanh, coth, sech und csch.

sinh und cosh sind für alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph. Die übrigen Hyperbelfunktionen haben Pole auf der imaginären Achse.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine Gerade aus dem Ursprung schneidet die Hyperbel x2y2 = 1 im Punkt (cosha,sinha), wobei a die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild an der x-Achse, und der Hyperbel ist.

Definition über die Exponentialfunktion

\sinh(z) := \frac{e^z - e^{-z}}{2}
\cosh(z) := \frac{e^z + e^{-z}}{2}

Daher sind die hyperbolischen Funktionen periodisch (mit rein imaginärer Periode). Die Potenzreihen von cosh(z) und sinh(z) entstehen aus denen von cos(z) und sin(z), indem alle Minuszeichen durch Pluszeichen ersetzt werden.

Geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel

Der Name Hyperbelfunktionen stammt daher, dass die Funktionen eine Hyperbel x2y2 = 1 beschreiben, nämlich mit Hilfe der Parameterdarstellung

x = cosh(t), y = sinh(t).

(Vergleiche den Zusammenhang zwischen dem Einheitskreis x2 + y2 = 1 und seiner Parameterdarstellung x = cos(t) und y = sin(t).)

Die Funktionen stellen eine Verbindung her zwischen der Fläche a, die von einer vom Nullpunkt ausgehenden Geraden und ihrem Spiegelbild an der x-Achse sowie der Hyperbel eingeschlossen wird, und der Länge verschiedener Strecken.

Dabei ist sinh(a) die (positive) y-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und cosh(a) die dazugehörige x-Koordinate. tanh(a) ist die y-Koordinate der Geraden bei x=1, d.h. die Steigung der Geraden.

Berechnet man die Fläche durch Integration, erhält man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion.

Wertebereich der reellen Hyperbelfunktionen

Graph der reellen Hyperbelfunktionen

Für alle reelle Zahlen r sind auch sinh(r) und cosh(r) reell.

Die reelle Funktion sinh ist streng monoton steigend und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.

Die reelle Funktion cosh ist für Werte < 0 streng monoton fallend,

für Werte > 0 streng monoton steigend.

Wertebereich der komplexen Hyperbelfunktionen

sinh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

A := \{ z \,\vert - \pi / 2 &amp;amp;lt; \operatorname{Im}\,z &amp;amp;lt; \pi / 2 \}
B := \{ z \,\vert \operatorname{Re}\,z \ne 0 \vee \operatorname{Im}\,z = \pm 1 \}

Dann bildet die komplexe Funktion sinh den „Streifen“ A bijektiv auf B ab.

cosh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

A := \{ z \,\vert 0 &amp;amp;lt; \operatorname{Im}\,z &amp;amp;lt; \pi \}
B := \{ z \,\vert \operatorname{Im}\,z \ne 0 \vee \operatorname{Re}\,z = \pm 1 \}

Dann bildet die komplexe Funktion cosh den „Streifen“ A bijektiv auf B ab.

Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen

Symmetrie und Periodizität

Für alle komplexen Zahlen z gilt:

  • sinh(z) = − sinh( − z), d.h. sinh ist eine ungerade Funktion.
  • cosh(z) = cosh( − z), d.h. cosh ist eine gerade Funktion.

Es liegt rein imaginäre Periodizität vor.

Additionstheoreme

Für alle komplexen Zahlen z1 und z2 gilt:

  • \sinh(z_1 + z_2) = \sinh(z_1) \cdot \cosh(z_2) + \sinh(z_2) \cdot \cosh(z_1)
  • \sinh(z_1 - z_2) = \sinh(z_1) \cdot \cosh(z_2) - \sinh(z_2) \cdot \cosh(z_1)
  • \cosh(z_1 + z_2) = \cosh(z_1) \cdot \cosh(z_2) + \sinh(z_1) \cdot \sinh(z_2)
  • \cosh(z_1 - z_2) = \cosh(z_1) \cdot \cosh(z_2) - \sinh(z_1) \cdot \sinh(z_2)

Zusammenhänge

cosh2(z) − sinh2(z) = 1

Ableitung

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\sinh}(x)={\cosh} (x).

Die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm cosh}(x)={\sinh} (x).

Die Ableitung der Tangens Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\tanh}(x)=1-{\operatorname{tanh}}^2 (x).

Alternative Namen

  • Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
  • Für sinh sind auch die Namen hsin, Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
  • Für cosh sind auch die Namen hcos, Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich.

Abgeleitete Funktionen

  • Tangens Hyperbolicus \tanh(x) := \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}
  • Cotangens Hyperbolicus \coth(x) := \frac{1}{\tanh(x)} = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}
  • Secans Hyperbolicus \operatorname{sech}(x) := \frac{1}{\cosh(x)}
  • Cosecans Hyperbolicus \operatorname{csch}(x) := \frac{1}{\sinh(x)}

Umrechnungstabelle

Funktion sinh cosh tanh coth
sinh(x) =  \sinh(x)\,  \sgn(x)\sqrt{\cosh^2(x)-1}  \frac{\tanh(x)}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}}  \frac{ \sgn(x)}{\sqrt{\coth^2(x) - 1}}
cosh(x) =  \,\sqrt{1+\sinh^2(x)}  \,\cosh(x)  \, \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}}  \, \frac{\left|\coth(x)\right|} {\sqrt{\coth^2(x)- 1}}
tanh(x) =  \,\frac{\sinh(x)}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}  \,\sgn(x)\frac{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}{\cosh(x)}  \,\tanh(x)  \,\frac{1}{\coth(x)}
coth(x) =  \,\frac{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}{\sinh(x)}  \,\sgn(x)\frac{\cosh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}  \,\frac{1}{\tanh(x)}  \,\coth(x)
 \operatorname{sech}(x)=  \,\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}  \,\frac{1}{\cosh(x)}  \,\sqrt{1 - \tanh^2(x)}  \,\frac{\sqrt{\coth^2(x)- 1}}{\left|\coth(x)\right|}
 \operatorname{csch}(x)=  \, \frac{1}{\sinh(x)}  \, \frac{\sgn(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}  \, \frac{\sqrt{1-\tanh^2(x)}}{\tanh(x)}  \, \sgn(x)\sqrt{\coth^2(x)- 1}


Funktion  \operatorname{sech}  \operatorname{csch}
sinh(x) =  \sgn(x)\frac{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)}}{\operatorname{sech}(x)}  \frac{1}{\operatorname{csch}(x)}
cosh(x) =  \, \frac{1}{\operatorname{sech}(x)}  \, \frac{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}{\left|\operatorname{csch}(x)\right|}
tanh(x) =  \,\sgn(x) \sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)}  \,\frac{\sgn(x)}{ \sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}
coth(x) =  \,\frac{\sgn(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}}  \,\sgn(x) \sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)}
 \operatorname{sech}(x)=  \, \operatorname{sech}(x)  \,\frac{\left|\operatorname{csch}(x)\right|}{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)}}
 \operatorname{csch}(x)=  \, \sgn(x)\frac{\operatorname{sech}(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}}  \, \operatorname{csch}(x)

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Area-Funktionen. Siehe auch: Zusammenhang mit den Kreisfunktionen

Weblinks

Literatur

  • Ilja N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Deutsch (Harri).

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • hyperbolische Funktion — hiperbolinė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperbolic function vok. hyperbolische Funktion, f rus. гиперболическая функция, f pranc. fonction hyperbolique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Hyperbolische Funktionen — Zu den Hyperbelfunktionen gehören: Sinus Hyperbolicus …   Deutsch Wikipedia

  • Halley-Verfahren — Das Halley Verfahren (auch Verfahren der berührenden Hyperbeln) ist, ähnlich wie das Newton Verfahren, eine Methode der numerischen Mathematik zur Bestimmung von Nullstellen f(x)=0 reeller Funktionen . Im Gegensatz zum Newton Verfahren hat es die …   Deutsch Wikipedia

  • hyperbolisch — hy|per|bo|lisch (hyperbelartig; im Ausdruck übertreibend); hyperbolische Funktion (Mathematik) …   Die deutsche Rechtschreibung

  • fonction hyperbolique — hiperbolinė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperbolic function vok. hyperbolische Funktion, f rus. гиперболическая функция, f pranc. fonction hyperbolique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • hiperbolinė funkcija — statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperbolic function vok. hyperbolische Funktion, f rus. гиперболическая функция, f pranc. fonction hyperbolique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • hyperbolic function — hiperbolinė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperbolic function vok. hyperbolische Funktion, f rus. гиперболическая функция, f pranc. fonction hyperbolique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • гиперболическая функция — hiperbolinė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperbolic function vok. hyperbolische Funktion, f rus. гиперболическая функция, f pranc. fonction hyperbolique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Partielle Differentialgleichung — Eine partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDG oder PDGL, beziehungsweise PDE für engl. partial differential equation) ist eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält. Solche Gleichungen dienen der mathematischen… …   Deutsch Wikipedia

  • PDGL — Eine Partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDG oder PDGL, beziehungsweise PDE für engl. partial differential equation) ist eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält. Sie dienen der mathematischen Modellierung vieler… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”