Amalgamierte Untergruppe

Das amalgamierte (freie) Produkt von Gruppen Gi nach der Gruppe U oder das freie Produkt der Gruppen Gi mit der amalgamierten Untergruppe U ist eine mit dem freien Produkt von Gruppen verwandte mathematische Konstruktion. Dabei wird zum Einen das freie Produkt der Gruppen gebildet, die allerdings alle eine zur (Unter-)Gruppe U isomorphe Untergruppe enthalten müssen. Zum Anderen werden diese Untergruppen durch geeignete Identifikation von Elementen und Anpassung der Gruppenverknüpfung dann innerhalb des freien Produktes bildlich gesprochen miteinander verschmolzen und in diesem Sinne amalgamiert[1]. Die Identifizierung von je zwei Elementen aus verschiedenen Untergruppen wird hierbei über die Isomorphie zur Gruppe U bewerkstellig (s. u. Ä3) und dementsprechend die Gruppenverknüpfung angepasst (s. u. Gruppen-Verknüpfung).

Das freie Produkt ist eine Anwendung bzw. ein Spezialfall des amalgamierten Produktes, da jedes freie Produkt vermöge der Amalgamierung nach der trivialen Untergruppe {1}[2] einer seiner Faktoren als amalgamiertes Produkt aufgefasst werden kann.

Inhaltsverzeichnis

Definition (konstruktiv)

Grundvoraussetzungen

Sei I \stackrel{\mathrm{def}}= \{ 1, 2,\ldots n\}, n \in \N eine Indexmenge und \{G_i\}_{i \in I} eine Familie von Gruppen. Weiter beinhalte jede dieser Gruppen eine Untergruppe Ui und alle diese Ui seien isomorph zu einer einzelnen weiteren Gruppe U. (Der zugehörige Gruppen-Isomorphismus, welcher diese Isomorphie vermittelt, sei mit \varphi_i : U_i \xrightarrow{\cong} U für alle i \in I bezeichnet.)

Sei weiter t \in \N. Ein Wort über den Gi sei eine Hintereinanderschreibung (Aneinanderreihung, Verkettung, etc.)

a_1 a_2\ldots a_t,

wobei das Wort entweder (für t = 0) leer sei – dann geschrieben 1 oder ε – oder es gelte a_i \in G_j für ein j \in I, für jedes i = 1\ldots t. (D. h. zwei verschiedene ai müssen nicht aus derselben Gruppe sein!)

(Im Folgenden schreiben wir sowohl für das leere Wort wie auch für die neutralen Elemente 1j der Gruppen Gj ohne Unterschied 1.)

Äquivalenzrelation

Elementare Äquivalenzen

Analog zum Vorgehen bei der Bildung des freien Produktes der Gruppen Gi betrachten wir nun Wörter aus Elementen aus den Gi und definieren sogenannten elementare Äquivalenzen (Ä1–Ä3) zwischen denselben:

(Ä1)
Neutrale Elemente können weggelassen werden.
Falls ai = 1, dann sei
a_1 \ldots a_{i-1} a_i a_{i+1} \ldots a_t
(elementar) äquivalent zu a_1 \ldots a_{i-1} a_{i+1} \ldots a_t.

(Ä2)
Zwei Elemente können durch ihr Produkt ersetzt werden.
Falls ai und ai + 1 aus derselben Gruppe Gj sind und aiai + 1 = a * in Gj gilt, dann sei
a_1 \ldots a_i a_{i+1} \ldots a_t
(elementar) äquivalent zu a_1 \ldots a^* \ldots a_t.

(Ä3)
Zwischenbemerkung:
Wir sagen, zwei Elemente u_j \in U_j \subseteq G_j und u_k \in U_k \subseteq G_k mit j, k \in I seien einander zugehörig, falls sie, vermittels der Isomorphismen \varphi_j,\ \varphi_k zwischen Uj, Uk und U, demselben u \in U entsprechen; d. h. falls \varphi_k(u_k) = u = \varphi_j(u_j) gilt.
Elemente können durch zugehörige Elemente ersetzt werden.
Falls a_i = u_j \in U_j \subseteq G_j und b_i = u_k \in U_k \subseteq G_k mit j, k \in I und die Elemente uj und uk einander zugehörig sind, dann sei
a_1 \ldots a_{i-1} a_i a_{i+1} \ldots a_t
(elementar) äquivalent zu a_1 \ldots a_{i-1} b_i a_{i+1} \ldots a_t.

Wortweise Äquivalenz

Auf Grundlage der elementaren Äquivalenzen Ä1–Ä3 erklären wir nun die wortweise Äquivalenz: Zwei Wörter x und y sind (wortweise) äquivalent, falls es eine Folge

x \stackrel{\mathrm{def}}= x_1, x_2, \ldots, x_m \stackrel{\mathrm{def}}= y[3]

mit m \in \N gibt, in welcher xi und xi + 1 für jedes i = 1, \ldots, m-1 elementar äquivalent sind. (Die wortweise Äquivalenz entspricht damit der transitiven Hülle bzw. der reflexiv-transitiven Hülle der elementaren Äquivalenz.)

Gruppen-Verknüpfung

Auf der Quotientenmenge nach der so definierten Äquivalenzrelation definieren wir endlich noch kanonisch die Gruppen-Verknüpfung:

[x][y] \stackrel{\mathrm{def}}= [xy]     (kanonisches Produkt).

Abschlussdefinition

Die Quotientenmenge bildet zusammen mit dem eben definierten Produkt eine Gruppe, nämlich das amalgamierte Produkt der Gruppen Gi oder das freie Produkt der Gruppen Gi mit der amalgamierten Untergruppe U.

Weblinks

Quellen

  • Hall, Marshall: The theory of groups. Macmillan, New York, 1959.

Fußnoten / Einzelnachweise

  1. Vgl. dazu den entsprechenden Wiktionary-Eintrag unter Weblinks.
  2. Die Untergruppen {}_{\{1\}\,\!} sind trivialerweise alle isomorph zur jeder beliebigen Gruppe der Gruppenordnung 1. Man wähle {}_{U=\{1\}\,\!} als Amalgamierungsuntergruppe.
  3. Die Folge ist {}_{x_1, x_2, \ldots, x_m,\,\!} wobei {}_{x_1 \stackrel{\mathrm{def}}= x\,\!} und {}_{x_m \stackrel{\mathrm{def}}= y\,\!} gesetzt wird. – „Bei der Interpretation der Formel werden Gleichheitszeichen vor Kommata ausgewertet.“

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