Analytische Halbgruppe

Eine analytische Halbgruppe, manchmal auch holomorphe Halbgruppe genannt, ist eine Familie \left(T(z)\right)_{z\in \Sigma_\delta} von beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum X in sich, wobei \Sigma_\delta:= \{\lambda\in\C\setminus\{0\}: |\operatorname{arg}\lambda|<\delta\} \cup \{0\} ein komplexwertiger Sektor und \delta\in(0,\pi/2] ein Winkel ist. Analytische Halbgruppen sind eine Spezialform der stark stetigen Halbgruppen und werden in der Analysis benutzt, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen partieller Differentialgleichungen wie etwa den Navier-Stokes-Gleichungen zu beweisen.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine Familie T=\left(T(z)\right)_{z\in \Sigma_\delta}\subset \mathcal L(X) wird analytische Halbgruppe genannt, falls für einen Winkel \delta\in(0,\pi/2] Folgendes gilt:

  • T(0) = I.
  • T(z1 + z2) = T(z1)T(z2) für alle z_1,z_2\in \Sigma_\delta.
  • die Abbildung z\mapsto T(z) ist auf Σδ analytisch.
  • die Abbildung z\mapsto T(z) ist auf \Sigma_{\delta'}\cup\{0\} für \delta'\in(0,\delta) stark stetig.

Falls zusätzlich \|T(z)\| für jedes \delta'\in(0,\delta) in Σδ' beschränkt ist, wird \left(T(z)\right)_{z\in \Sigma_\delta} beschränkte analytische Halbgruppe genannt (aber: eine beschränkte stark stetige Halbgruppe, die analytisch ist, ist im Allgemeinen keine beschränkte analytische Halbgruppe).

Infinitesimaler Erzeuger

Analog zu stark stetigen Halbgruppen betrachtet man den Operator A mit

Ax:=\lim_{\Sigma_\delta\ni z\rightarrow 0}\frac{T(z)x-x}z

und

D(A):=\{x\in X: \lim_{\Sigma_\delta\ni z\rightarrow 0}\frac{T(z)x-x}z \ \mathrm{existiert} \}.

Der Operator wird (infinitesimaler) Erzeuger oder Generator genannt und ist dicht definiert und abgeschlossen.

Eigenschaften

Das Spektrum eines Erzeugers A
  • Erzeugt A eine analytische Halbgruppe T, dann
    • existieren M\geq 1 und \omega\geq 0 mit \|T(z)\|\leq Me^{\omega\mathrm{Re}\,z} für alle z\in\Sigma_\delta. Ist die Halbgruppe beschränkt, kann ω = 0 gewählt werden.
    • existiert ein ω > 0, so dass A + ω eine beschränkte analytische Halbgruppe erzeugt.
    • gilt T(t)X\subset D(A) für alle t > 0.
    • stimmt die inverse Laplace-Transformation der Resolvente mit der Halbgruppe überein, also T(t)=\frac1{2\pi i}\int_\gamma e^{\lambda t} R(\lambda,A)\mathrm{d}\lambda für t\geq 0 und einem geeigneten Weg γ in \C.
  • Erzeugt A eine beschränkte analytische Halbgruppe T, dann enthält die Resolventenmenge ρ(A) den Sektor Σπ / 2 + δ' für alle \delta'\in(0,\delta).
  • A erzeugt genau dann eine beschränkte analytische Halbgruppe, wenn A eine stark stetige Halbgruppe T erzeugt mit \operatorname{rg}(T(t))\subset D(A) für alle t > 0 und \sup_{t>0} \|tAT(t)\|<\infty (reelle Charakterisierung).

Beispiele

Das Cauchy-Problem

Erzeugt A eine beschränkte analytische Halbgruppe, so wird das abstrakte Cauchy-Problem

\left\{\begin{array}{lll}
 u'(t)&=&A(u(t)) + f(t) \ \mathrm{f\ddot{u}r\ alle}\ t>0\\
 u(0)&=&u_0
\end{array}\right.

für den Anfangswert u_0 \in X und einer Hölder-stetigen Funktion f\in C^\alpha([0, \infty); X) durch die Funktion

u(t) := T(t)u_0 + \int_0^t T(t-s)f(s){\rm d}s

gelöst.

Literatur

  • Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York NY 2000, ISBN 0-387-98463-1 (Graduate Texts in Mathematics 194).
  • Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. Corrected printing of the 2nd edition. Springer, Berlin 1980, ISBN 0-387-07558-5 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 132), (Reprint. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58661-X (Classics in mathematics)).
  • Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 3-540-90845-5 (Applied Mathematical Sciences 44).

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